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| 15 | == 증명 == |
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| 17 | == 증명 == |
| 18 | [math(\dfrac{f(z)}{z-z_0})]는 [math(z_0)]을 제외한 [math(D)] 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 [math(\Gamma)]는 양의 방향을 가지는 원 [math(C_r : |z-z_0|=r)]로 연속적 변형이 가능하다. 따라서 |
| 19 | ><math> \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz</math> |
| 20 | 이다. 이때 |
| 21 | ><math>\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math> |
| 22 | 이고, [math(\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i)]이므로, |
| 23 | ><math>\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math> |
| 24 | 이다. [math(M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\})]이라 하자. 그러면 |
| 25 | ><math>\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r}</math> |
| 26 | 이므로 |
| 27 | ><math>\left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r</math> |
| 28 | 이다. [math(f)]는 )]z_0)]에서 연속이므로, [math(r\to 0)]일 때 [math(M_r \to 0)]이다. 따라서 |
| 29 | ><math>\lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0</math> |
| 30 | 이고, 원하는 결론을 얻는다. |
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| 42 | == 참고문헌 == |
| 43 | * Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746 |
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| 45 | == 보기 == |
| 46 | * [[리우빌의 정리]] |
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