결정공리 (편집) - 시드위키

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'''결정공리''' (Axiom of Determinacy, AD)란 두 명이 번갈아가면서 자연수를 뽑는 게임을 생각했을 때, 게임의 승리 규칙을 어떻게 결정하던 승리 전략이 존재한다는 내용의 공리이다.

결정공리는 [[가산 선택공리]]을 이끌어내며, 결정공리와 종속 선택공리는 무모순하다. 하지만 결정공리는 모든 실수 공간의 부분집합이 가측임을 이끌어내며 완전 부분집합을 갖지 않는 임의의 실수 공간의 부분집합이 가산임을 이끌어낸다. 따라서 결정공리는 선택공리와는 상충된다.

== 결정공리의 귀결 ==
결정공리를 이용하면 다음 명제들을 증명할 수 있다:
* 모든 실수의 부분집합은 가측이며, 베르 성질과 완전집합 성질을 갖는다.
* 실수 집합은 정렬 가능하지 않다. 특히, [math(\omega_1)]과 [math(\mathfrak{c})]는 비교 불가능하다.
* 모든 초필터는 [math(\omega_1)]-완비이다.
  * 따라서 [math(\omega)] 위의 초필터는 존재하지 않는다.
* [math(\omega_1)] 위의 클럽 필터는 초필터이다.
  * 따라서 [math(\omega_1)]은 [[가측 기수]]이다.
* 마찬가지로, [math(\omega_2)] 위의 클럽 필터는 [math(\omega_2)]-완비 초필터이다. 그리고 [math(\omega_2)] 또한 가측이다.
* 반면, [math(3\le n<\omega)]일 때 [math(\omega_n)]은 가측이 아니다. 심지어 이들은 공종도 [math(\omega_2)]를 갖는 특이서수이다.

== 참고문헌 ==
* Andres Caicedo (http://mathoverflow.net/users/6085/andres-caicedo), Counterintuitive consequences of the Axiom of Determinacy?, URL (version: 2013-05-01): http://mathoverflow.net/q/129040

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