최근 편집
최근 토론
게시판 메인
도구
투표
무작위 문서
스킨 설정
파일 올리기
기타 도구
216.73.216.27
IP
사용자 도구
사용자 설정
로그인
회원 가입
최근 편집
최근 토론
돌아가기
삭제
이동
파일 올리기
다항함수 보간법
(편집)
(불러오기)
(편집 필터 규칙)
[[분류:가져온 문서/오메가]] Polynomial interpolation 주어진 점들을 지나는 [[다항식]]을 찾는 보간법이다. == 정의 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]에 대해 자료 [math((x_1,y_1), \cdots,(x_n,y_n))]이 주어졌을 때, [math(p(x_i)=y_i,\quad i=1,\dots,n)] 를 만족하는 다항식 [math(p(x))]를 찾는 방법을 다항함수 보간법이라 한다. 이때 [math(p)]의 차수는 [math(n-1)]을 넘지 않는다. == 보간 다항식 구성 == [math((n-1))]차 이하의 다항식의 벡터공간 [math(P)]의 기저 [math(\mathcal{B}=\{p_1,p_2,\cdots,p_n\})]에 대해, 임의의 [math(p\in P)]를 [math(p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+\cdots+a_np_n(x))] 로 나타낼 수 있다. 이때, [math(a_1,\cdots,a_n)]은 상수이다. 이때 함수 [math(f)]와 서로 다른 [math(x_1,\cdots, x_n\in \operatorname{dom} f)]에 대해 집합 [math(\{(x_1,f(x_1)), \cdots, (x_n,f(x_n))\})]이 주어지면, [math(\begin{array}{lcl}a_1p_1(x_1)+a_2p_2(x_1)+a_3p_3(x_1)+\cdots+a_np_n(x_1)&=&f(x_1)\\a_1p_1(x_2)+a_2p_2(x_2)+a_3p_3(x_2)+\cdots+a_np_n(x_2)&=&f(x_2)\\a_1p_1(x_3)+a_2p_2(x_3)+a_3p_3(x_3)+\cdots+a_np_n(x_3)&=&f(x_3)\\&\vdots&\\a_1p_1(x_n)+a_2p_2(x_n)+a_3p_3(x_n)+\cdots+a_np_n(x_n)&=&f(x_n)\end{array})] 을 만족하는 [math(p)]를 구할 수 있다. 이것을 행렬을 이용해 나타내면 [math(\begin{bmatrix}p_1(x_1) & p_2(x_1) & p_3(x_1) & \cdots & p_n(x_1) \\ p_1(x_2) & p_2(x_2) & p_3(x_2) & \cdots & p_n(x_2) \\ p_1(x_3) & p_2(x_3) & p_3(x_3) & \cdots & p_n(x_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_1(x_n) & p_2(x_n) & p_3(x_n) & \cdots & p_n(x_n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. === 단항식 기저를 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=x^{i-1})] (단항식 기저) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 이때, 왼쪽의 정사각행렬은 방데르몽드 행렬이다. === 라그랑주 다항식을 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=\prod_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j})] (라그랑주 다항식) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 왼쪽의 정사각행렬이 항등행렬이므로, 임의의 [math(i\in \{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(a_i=f(x_i))]이다. === 뉴턴 다항식을 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=\prod_{j=1}^{i-1} (x-x_j))] (뉴턴 다항식) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x_2-x_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x_3-x_1 & (x_3-x_1)(x_3-x_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n-x_1 & (x_n-x_1)(x_n-x_2) & \cdots & \prod_{j=1}^{n-1} (x_n-x_j) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 왼쪽의 정사각행렬이 삼각행렬이므로, 후진대입을 사용할 수 있다. == 보간 다항식의 유일성 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]와 [math(y_1,\cdots,y_n)]에 대해 [math(p(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 유일하다. 임의의 [math(i\in\{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(p_1(x_i)=p_2(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식 [math(p_1(x),p_2(x))]가 존재한다고 하자. 그러면 [math(q(x)=p_1(x)-p_2(x))]는 [math((n-1))]차 이하의 다항식이고, [math(q(x_i)=0)]이다. 따라서 방정식 [math(q(x)=0)]은 [math(n)]개의 해를 가진다. 그런데 대수학의 기본 정리에 의해 상수가 아닌 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 [math(n-1)]개의 근을 가지므로, [math(q(x))]는 상수이다. 따라서 [math(q(x)=q(x_i)=0=p_1(x)-p_2(x))]이므로 원하는 결과를 얻는다. == 영상 == [youtube(h6KGbSJF2oU)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
(임시 저장)
(임시 저장 불러오기)
기본값
모나코 에디터
normal
namumark
namumark_beta
macromark
markdown
custom
raw
(↪️)
(💎)
(🛠️)
(추가)
[[분류:가져온 문서/오메가]] Polynomial interpolation 주어진 점들을 지나는 [[다항식]]을 찾는 보간법이다. == 정의 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]에 대해 자료 [math((x_1,y_1), \cdots,(x_n,y_n))]이 주어졌을 때, [math(p(x_i)=y_i,\quad i=1,\dots,n)] 를 만족하는 다항식 [math(p(x))]를 찾는 방법을 다항함수 보간법이라 한다. 이때 [math(p)]의 차수는 [math(n-1)]을 넘지 않는다. == 보간 다항식 구성 == [math((n-1))]차 이하의 다항식의 벡터공간 [math(P)]의 기저 [math(\mathcal{B}=\{p_1,p_2,\cdots,p_n\})]에 대해, 임의의 [math(p\in P)]를 [math(p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+\cdots+a_np_n(x))] 로 나타낼 수 있다. 이때, [math(a_1,\cdots,a_n)]은 상수이다. 이때 함수 [math(f)]와 서로 다른 [math(x_1,\cdots, x_n\in \operatorname{dom} f)]에 대해 집합 [math(\{(x_1,f(x_1)), \cdots, (x_n,f(x_n))\})]이 주어지면, [math(\begin{array}{lcl}a_1p_1(x_1)+a_2p_2(x_1)+a_3p_3(x_1)+\cdots+a_np_n(x_1)&=&f(x_1)\\a_1p_1(x_2)+a_2p_2(x_2)+a_3p_3(x_2)+\cdots+a_np_n(x_2)&=&f(x_2)\\a_1p_1(x_3)+a_2p_2(x_3)+a_3p_3(x_3)+\cdots+a_np_n(x_3)&=&f(x_3)\\&\vdots&\\a_1p_1(x_n)+a_2p_2(x_n)+a_3p_3(x_n)+\cdots+a_np_n(x_n)&=&f(x_n)\end{array})] 을 만족하는 [math(p)]를 구할 수 있다. 이것을 행렬을 이용해 나타내면 [math(\begin{bmatrix}p_1(x_1) & p_2(x_1) & p_3(x_1) & \cdots & p_n(x_1) \\ p_1(x_2) & p_2(x_2) & p_3(x_2) & \cdots & p_n(x_2) \\ p_1(x_3) & p_2(x_3) & p_3(x_3) & \cdots & p_n(x_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_1(x_n) & p_2(x_n) & p_3(x_n) & \cdots & p_n(x_n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. === 단항식 기저를 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=x^{i-1})] (단항식 기저) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 이때, 왼쪽의 정사각행렬은 방데르몽드 행렬이다. === 라그랑주 다항식을 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=\prod_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j})] (라그랑주 다항식) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 왼쪽의 정사각행렬이 항등행렬이므로, 임의의 [math(i\in \{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(a_i=f(x_i))]이다. === 뉴턴 다항식을 이용한 보간 === 기저 [math(P)]의 원소 [math(p_i)]를 [math(p_i(x)=\prod_{j=1}^{i-1} (x-x_j))] (뉴턴 다항식) 로 설정하면, [math(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x_2-x_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x_3-x_1 & (x_3-x_1)(x_3-x_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n-x_1 & (x_n-x_1)(x_n-x_2) & \cdots & \prod_{j=1}^{n-1} (x_n-x_j) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})] 이다. 왼쪽의 정사각행렬이 삼각행렬이므로, 후진대입을 사용할 수 있다. == 보간 다항식의 유일성 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]와 [math(y_1,\cdots,y_n)]에 대해 [math(p(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 유일하다. 임의의 [math(i\in\{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(p_1(x_i)=p_2(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식 [math(p_1(x),p_2(x))]가 존재한다고 하자. 그러면 [math(q(x)=p_1(x)-p_2(x))]는 [math((n-1))]차 이하의 다항식이고, [math(q(x_i)=0)]이다. 따라서 방정식 [math(q(x)=0)]은 [math(n)]개의 해를 가진다. 그런데 대수학의 기본 정리에 의해 상수가 아닌 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 [math(n-1)]개의 근을 가지므로, [math(q(x))]는 상수이다. 따라서 [math(q(x)=q(x_i)=0=p_1(x)-p_2(x))]이므로 원하는 결과를 얻는다. == 영상 == [youtube(h6KGbSJF2oU)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.
편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이
CC BY 4.0
에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.
전송
미리보기
