디리클레 합성곱 (편집)

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Dirichlet product, Dirichlet multiplication, Dirichlet convolution

수론적 함수 사이에서 정의되는 이항연산이다.

== 정의 ==
두 수론적 함수 [math(f)], [math(g)]에 대해 디리클레 곱 [math(f*g)]은 다음과 같이 정의된다.

[math((f*g)(n)=\sum_{d \mid n} f(d)g(\frac{n}{d}))]

== 성질 ==
수론적 함수 [math(f)], [math(g)], [math(h)]에 대해 다음이 성립한다.

* [[교환법칙]] : [math(f*g=g*f)]가 성립한다.
* [[결합법칙]] : [math((f*g)*h=f*(g*h))]가 성립한다.
* [[항등원]] : [math(I(n)=\begin{cases}1&\text{if}\ n=1\\0&\text{if}\ n>1\end{cases})]이라고 하면 [math(f*I=I*f=f)]가 성립한다.
* [[역원]] : [math(f(1)\neq0)]이면 [math(f*f^{-1}=f^{-1}*f=I)]인 [math(f^{-1})]이 존재한다.

이를 이용하면 [math(f(1)\neq0)]인 수론적 함수 [math(f)]들은 연산 [math(*)]에 대한 [[아벨 군]]을 형성한다는 것을 알 수 있다.

=== 결합법칙 ===
[math(\begin{aligned} (f*(g*h))(n)&=\sum_{d \mid n}f(d)(g*h)(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d \mid n}f(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}g(k)h(\frac{n}{dk})\\ &=\sum_{d \mid n}\sum_{k|\frac{n}{d}}f(d)g(k)h(\frac{n}{dk})\\ &=\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)\\ &=\sum_{d \mid n}(\sum_{k \mid d}f(k)g(\frac{d}{k}))h(\frac{n}{d})\\ &=((f*g)*h)(n) \end{aligned})]

따라서 결합법칙이 성립한다.

=== 역원 ===
수론적 함수 [math(f)] ([math(f(1) \not = 0)])에 대하여 역원 [math(f^{-1})]은 다음과 같은 식으로 표현된다.

[math(f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)})]
[math(f^{-1}(n)=-\frac{1}{f(1)} \sum_{d|n,\ d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d),\ n>1)]

==== 증명 ====
[math(n)]에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. [math(n=1)]인 경우는 자명.

[math(\forall k<n)]에 대하여 [math(f^{-1}(k))]가 유일하게 존재한다고 가정하자. [math((f*f^{-1})(n)=I(n)=0)]에서

이므로

따라서 원하는 식을 얻는다.

==== 완전 곱셈적 함수의 역원 ====
수론적 함수 [math(f)]가 완전 곱셈적일 때, [math(f)]의 역원 [math(f^{-1})]는 [math(\mu f)]와 같다. 즉

[math(f^{-1}(n)=\mu(n)f(n))]

이다. 증명은 디리클레 곱과 완전 곱셈적 함수의 정의에 의해 자명하다.

=== 뫼비우스 반전 공식 ===
수론적 함수 [math(f)], [math(g)]에 대해 다음이 성립한다.

[math(f(n)=\sum_{d \mid n}g(n) \iff g(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g(\frac{n}{d}))]

== 일반화 ==
'''일반화된 합성곱'''(Generalized convolution)은 수론적 함수 [math(\alpha)]와 [math(\Bbb R^+)] 위에서 정의되어있고 [math((0,1))] 위에서 그 값이 0인 복소함수 [math(F)]에 대해 다음과 같이 정의되는 연산 [math(\circ)]이다.

[math((\alpha \circ F)(x)=\sum_{n \leq x}\alpha(n)F(\frac{x}{n}))]

=== 디리클레 곱과의 관계 ===
[math(F)]가 정수 이외의 실수에서 0의 값을 가질 때, [math(m \in \Bbb N)]에 대해 다음이 성립한다,

[math((\alpha \circ F)(m)=(\alpha * F)(m))]

따라서 [math(\circ)]는 [math(*)]의 일반화로 볼 수 있다.

=== 성질 ===
[math(\circ)]는 일반적으로 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않지만, [math(*)]과 함께 다음이 성립한다. 여기서 [math(\alpha,\ \beta)]는 수론적 함수이다.

[math(\alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha * \beta) \circ F)]

==== 항등원 ====
항등원 함수 [math(I(n)=\left[\frac{1}{n}\right])]은 일반화된 합성곱에서의 좌항등원이다. 즉 다음이 성립한다.

[math(I \circ F=F)]

=== 일반화된 반전 공식 ===
[math(\alpha)]의 역원 [math(\alpha^{-1})]가 존재할 경우, 다음이 성립한다.

[math(G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x}\alpha^{-1}(n)G(\frac{x}{n}))]

즉 [math(G=\alpha \circ F \iff F=\alpha^{-1} \circ G)]이다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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