최근 편집
최근 토론
게시판 메인
도구
투표
무작위 문서
스킨 설정
파일 올리기
기타 도구
216.73.216.81
IP
사용자 도구
사용자 설정
로그인
회원 가입
최근 편집
최근 토론
돌아가기
삭제
이동
파일 올리기
부드러운 정수
(편집)
(불러오기)
(편집 필터 규칙)
[[분류:가져온 문서/오메가]] Smooth number, friable number 특정 수 이하의 소인수만을 가지는 자연수를 말한다. == 정의 == 자연수 [math(n)]이 [math(k)]-부드러운 정수(k-smooth number)라는 것은 [math(n)]이 [math(k)] 이하의 소인수만을 가진다는 것이다. == 분포 == 딕맨(Karl Dickman)은 1930년의 논문[* Dickman, K. (1930). On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude, Ark. Mat. Astr. fys. 22, 1–14.]에서 다음을 증명했다. >[math(\psi(x,y))]를 [math(x)] 이하의 자연수 중 [math(y)]-부드러운 정수의 개수라고 정의하자. 이 때 [[딕맨 함수]] [math(\rho)]에 대해 다음이 성립한다. >[math(\psi(x,y) \sim x\rho(u))] 여기서 [math(u=\log x/\log y)]이다. 조금 더 정확히는, 다음이 성립한다. [math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))] === 증명 === 증명하고자 하는 것은 임의의 [math(U\geq0)]에 대해 [math(0\leq u\leq U,\ x\geq2)]에서 [math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))]가 균등하게(uniformly) 성립한다는 것이다. 이를 위해 [math(U)]에 대한 귀납법을 사용할 것이다. [math(0\leq u\leq1)]일 때는 [math(y\geq x)]이므로 [math(\psi(x,y)=[x]=x+O(1))]에서 자명하게 성립한다. [math(1\leq u\leq 2)]일 때는 [math(x^{1/2}\leq y\leq x)]이므로 [math(x)] 이하의 자연수가 [math(y)]보다 큰 소인수를 두 개 이상 가질 수 없다. 따라서 ><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \sum_{n\leq x \atop p|n} 1 \\ &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \left[{x\over p}\right] \\ &=x-x\sum_{y<p\leq x} {1\over p}+O(\pi(x)) \\ &= (1-\log u)x+O\left(x\over\log x\right) \end{aligned}</math> 으로 성립한다. ([math(1\leq u\leq2)]에서, [math(\rho(u)=1-\log u)]이다.) 이렇게 초기조건이 증명되었다. 이제 [math(U\in\Bbb Z,\ U\geq2)]에 대해 증명하고자 하는 것이 성립한다고 가정하고, 이것이 [math([U,U+1])]에서도 성립함을 보이자. [math(P(n))]을 [math(n)]의 최대소인수로 정의하면, 다음이 성립한다. ><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} |\{n\leq x \mid P(n)=p\}|</math> [math(n)]의 최대소인수가 [math(p)]라는 것은 [math(n/p)]의 최대소인수가 [math(p)] 이하라는 것이므로 [math(|\{n\leq x \mid P(n)=p\}|=\psi(x/p,p))]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. ><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} \psi(x/p,p)</math> 그러므로 [math(y\leq z)]일 때 다음이 성립한다. ><math>\psi(x,y)=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p)</math> [math(U\leq u\leq U+1)]에 대해 [math(y=x^{1/u},\ z=x^{1/U})]로 두고, [math(\displaystyle u_p={\log x\over \log p}-1)]로 정의하면 [math(\displaystyle p=({x\over p})^{1/u_p})]가 되며 [math(p\geq y)]일 때 [math(u_p\leq u-1\leq U)]이다. 따라서 귀납가설에 의해 다음이 성립한다. ><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p) \\ &=\left(\rho(U)x + O\left({x\over\log x}\right)\right) - \left(x\sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} + O\left(x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}}\right)\right) \end{aligned}</math> 이제 [math(\displaystyle s(w)=\sum_{p\leq w} {1\over p}=\log\log w+c+r(w))]로 정의하면[* [math(c)]는 오일러 상수 [math(\gamma)]에 대해 [math(\gamma-\sum_p\sum_{k=2}^\infty {1\over kp^k})]로 정의되는 상수이고, [math(r(w))]는 [math(O\left({1\over\log w}\right))]인 함수이다.], 다음을 얻을 수 있다. ><math>\begin{aligned} \sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} &=\sum_{y<p\leq z} \rho(u_p){1\over p} \\ &=\int_y^z \rho(u_w) ds(w) \\ &=\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w + \int_y^z \rho(u_w) dr(w) \end{aligned}</math> 두 적분을 따로 계산하자. [math(t={\log x\over\log w})]로 두면 [math(d\log\log w=dw/(w\log w)=-dt/t)]이므로 첫 번째 적분은 다음과 같다. ><math>\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w = \int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}</math> 두 번째 적분에 대해서는, 부분적분을 한 다음 [math(r(w)\ll{1\over\log w})]임을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다. ><math>\begin{aligned} \int_y^z \rho(u_w) dr(w) &=\rho(u_w)r(w)\bigg|_y^z - \int_y^z r(w) d\rho(u_w) \\ &\ll {1\over\log x}\left(1+\int_y^z 1 |d\rho(u_w)|\right) \\ &\ll {1\over\log x} \end{aligned}</math> 또 [math(\log\log z=\log\log y+O(1))]에서 다음이 성립한다. ><math>x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}} \ll {x\over\log x} \sum_{y<p\leq z} {1\over p} \ll {x\over\log x}</math> 이상을 종합하면 [math(U\leq u\leq U+1)]에서 다음을 얻는다. ><math>\psi(x,y)=x\left(\rho(U)-\int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}\right) + O\left({x\over\log x}\right)=x\rho(u)+O\left({x\over\log x}\right)</math> 따라서 귀납조건을 보였고, 본 명제가 증명되었다. == 보기 == * [[딕맨 함수]] == 참고 문헌 == * Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). ''Multiplicative number theory. I. Classical theory''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9 [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
(임시 저장)
(임시 저장 불러오기)
기본값
모나코 에디터
normal
namumark
namumark_beta
macromark
markdown
custom
raw
(↪️)
(💎)
(🛠️)
(추가)
[[분류:가져온 문서/오메가]] Smooth number, friable number 특정 수 이하의 소인수만을 가지는 자연수를 말한다. == 정의 == 자연수 [math(n)]이 [math(k)]-부드러운 정수(k-smooth number)라는 것은 [math(n)]이 [math(k)] 이하의 소인수만을 가진다는 것이다. == 분포 == 딕맨(Karl Dickman)은 1930년의 논문[* Dickman, K. (1930). On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude, Ark. Mat. Astr. fys. 22, 1–14.]에서 다음을 증명했다. >[math(\psi(x,y))]를 [math(x)] 이하의 자연수 중 [math(y)]-부드러운 정수의 개수라고 정의하자. 이 때 [[딕맨 함수]] [math(\rho)]에 대해 다음이 성립한다. >[math(\psi(x,y) \sim x\rho(u))] 여기서 [math(u=\log x/\log y)]이다. 조금 더 정확히는, 다음이 성립한다. [math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))] === 증명 === 증명하고자 하는 것은 임의의 [math(U\geq0)]에 대해 [math(0\leq u\leq U,\ x\geq2)]에서 [math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))]가 균등하게(uniformly) 성립한다는 것이다. 이를 위해 [math(U)]에 대한 귀납법을 사용할 것이다. [math(0\leq u\leq1)]일 때는 [math(y\geq x)]이므로 [math(\psi(x,y)=[x]=x+O(1))]에서 자명하게 성립한다. [math(1\leq u\leq 2)]일 때는 [math(x^{1/2}\leq y\leq x)]이므로 [math(x)] 이하의 자연수가 [math(y)]보다 큰 소인수를 두 개 이상 가질 수 없다. 따라서 ><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \sum_{n\leq x \atop p|n} 1 \\ &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \left[{x\over p}\right] \\ &=x-x\sum_{y<p\leq x} {1\over p}+O(\pi(x)) \\ &= (1-\log u)x+O\left(x\over\log x\right) \end{aligned}</math> 으로 성립한다. ([math(1\leq u\leq2)]에서, [math(\rho(u)=1-\log u)]이다.) 이렇게 초기조건이 증명되었다. 이제 [math(U\in\Bbb Z,\ U\geq2)]에 대해 증명하고자 하는 것이 성립한다고 가정하고, 이것이 [math([U,U+1])]에서도 성립함을 보이자. [math(P(n))]을 [math(n)]의 최대소인수로 정의하면, 다음이 성립한다. ><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} |\{n\leq x \mid P(n)=p\}|</math> [math(n)]의 최대소인수가 [math(p)]라는 것은 [math(n/p)]의 최대소인수가 [math(p)] 이하라는 것이므로 [math(|\{n\leq x \mid P(n)=p\}|=\psi(x/p,p))]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. ><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} \psi(x/p,p)</math> 그러므로 [math(y\leq z)]일 때 다음이 성립한다. ><math>\psi(x,y)=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p)</math> [math(U\leq u\leq U+1)]에 대해 [math(y=x^{1/u},\ z=x^{1/U})]로 두고, [math(\displaystyle u_p={\log x\over \log p}-1)]로 정의하면 [math(\displaystyle p=({x\over p})^{1/u_p})]가 되며 [math(p\geq y)]일 때 [math(u_p\leq u-1\leq U)]이다. 따라서 귀납가설에 의해 다음이 성립한다. ><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p) \\ &=\left(\rho(U)x + O\left({x\over\log x}\right)\right) - \left(x\sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} + O\left(x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}}\right)\right) \end{aligned}</math> 이제 [math(\displaystyle s(w)=\sum_{p\leq w} {1\over p}=\log\log w+c+r(w))]로 정의하면[* [math(c)]는 오일러 상수 [math(\gamma)]에 대해 [math(\gamma-\sum_p\sum_{k=2}^\infty {1\over kp^k})]로 정의되는 상수이고, [math(r(w))]는 [math(O\left({1\over\log w}\right))]인 함수이다.], 다음을 얻을 수 있다. ><math>\begin{aligned} \sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} &=\sum_{y<p\leq z} \rho(u_p){1\over p} \\ &=\int_y^z \rho(u_w) ds(w) \\ &=\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w + \int_y^z \rho(u_w) dr(w) \end{aligned}</math> 두 적분을 따로 계산하자. [math(t={\log x\over\log w})]로 두면 [math(d\log\log w=dw/(w\log w)=-dt/t)]이므로 첫 번째 적분은 다음과 같다. ><math>\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w = \int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}</math> 두 번째 적분에 대해서는, 부분적분을 한 다음 [math(r(w)\ll{1\over\log w})]임을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다. ><math>\begin{aligned} \int_y^z \rho(u_w) dr(w) &=\rho(u_w)r(w)\bigg|_y^z - \int_y^z r(w) d\rho(u_w) \\ &\ll {1\over\log x}\left(1+\int_y^z 1 |d\rho(u_w)|\right) \\ &\ll {1\over\log x} \end{aligned}</math> 또 [math(\log\log z=\log\log y+O(1))]에서 다음이 성립한다. ><math>x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}} \ll {x\over\log x} \sum_{y<p\leq z} {1\over p} \ll {x\over\log x}</math> 이상을 종합하면 [math(U\leq u\leq U+1)]에서 다음을 얻는다. ><math>\psi(x,y)=x\left(\rho(U)-\int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}\right) + O\left({x\over\log x}\right)=x\rho(u)+O\left({x\over\log x}\right)</math> 따라서 귀납조건을 보였고, 본 명제가 증명되었다. == 보기 == * [[딕맨 함수]] == 참고 문헌 == * Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). ''Multiplicative number theory. I. Classical theory''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9 [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.
편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이
CC BY 4.0
에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.
전송
미리보기