최근 편집
최근 토론
게시판 메인
도구
투표
무작위 문서
스킨 설정
파일 올리기
기타 도구
216.73.216.27
IP
사용자 도구
사용자 설정
로그인
회원 가입
최근 편집
최근 토론
돌아가기
삭제
이동
파일 올리기
샌드위치 정리
(편집)
(불러오기)
(편집 필터 규칙)
[[분류:가져온 문서/오메가]] sandwich theorem 함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다. == 진술 == 함수 [math(f, g, h)]와 [math(L)]에 가까운 [math(x)]에 대하여 [math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}g(x))]이고 [math(f(x)\leq h(x)\leq g(x))]이면 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다. 이 때, 함수 [math(f)]를 [math(h)]의 하계, [math(g)]를 [math(h)]의 상계라 한다. == 증명 == [math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)]이므로 엡실론-델타 논법에 의해, * <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon</math> 이다. 마찬가지로, [math(\lim\limits_{x\to a}g(x)=L)]이므로 * <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |g(x)-L|<\varepsilon</math> 이다. [math(\delta = \min(\delta_1, \delta_2))]이라 했을 때 [math(0<|x-a|<\delta)]이면 * <math>L-\varepsilon < f(x) <L+\varepsilon</math> 이고 * <math>L-\varepsilon < g(x) <L+\varepsilon</math> 이여서 * <math>L-\varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < L +\varepsilon </math> 임을 알 수 있다. 따라서 [math(0<|x-a|<\delta)]이면 * <math>-\varepsilon < h(x) - L < \varepsilon </math> 이다. 따라서 극한의 정의에 의해 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다. == 예시 == *<math>\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</math> 이고 <math>\lim_{x \to 0} \cos x = \lim_{x \to 0} 1 = 1</math> 이므로 <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1</math> 이다. == 영상 == [youtube(mlB022kKpO8)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
(임시 저장)
(임시 저장 불러오기)
기본값
모나코 에디터
normal
namumark
namumark_beta
macromark
markdown
custom
raw
(↪️)
(💎)
(🛠️)
(추가)
[[분류:가져온 문서/오메가]] sandwich theorem 함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다. == 진술 == 함수 [math(f, g, h)]와 [math(L)]에 가까운 [math(x)]에 대하여 [math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}g(x))]이고 [math(f(x)\leq h(x)\leq g(x))]이면 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다. 이 때, 함수 [math(f)]를 [math(h)]의 하계, [math(g)]를 [math(h)]의 상계라 한다. == 증명 == [math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)]이므로 엡실론-델타 논법에 의해, * <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon</math> 이다. 마찬가지로, [math(\lim\limits_{x\to a}g(x)=L)]이므로 * <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |g(x)-L|<\varepsilon</math> 이다. [math(\delta = \min(\delta_1, \delta_2))]이라 했을 때 [math(0<|x-a|<\delta)]이면 * <math>L-\varepsilon < f(x) <L+\varepsilon</math> 이고 * <math>L-\varepsilon < g(x) <L+\varepsilon</math> 이여서 * <math>L-\varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < L +\varepsilon </math> 임을 알 수 있다. 따라서 [math(0<|x-a|<\delta)]이면 * <math>-\varepsilon < h(x) - L < \varepsilon </math> 이다. 따라서 극한의 정의에 의해 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다. == 예시 == *<math>\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</math> 이고 <math>\lim_{x \to 0} \cos x = \lim_{x \to 0} 1 = 1</math> 이므로 <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1</math> 이다. == 영상 == [youtube(mlB022kKpO8)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.
편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이
CC BY 4.0
에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.
전송
미리보기
