운동량 (편집) - 시드위키

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運動量 / Momentum

[[물리학]]의 주요 물리량으로써 그 포괄적인 정의는 따로 두지 않는다.

== 고전물리학에서의 운동량 ==
=== 선운동량(Linear Momentum) ===
뉴턴역학에서 정리된 선운동량은 [math(\vec{p}=m \vec{v})]이다. 여기서 [math(\vec{p})]는 물체의 선운동량, [math(m)]는 물체의 질량, [math(\vec{v})]는 물체의 속도를 나타낸다. 다입자계의 경우 [math({\vec{p}}_{\text{sys}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{p}}_{i})]라고 정의하며, 연속체의 경우 [math(\vec{p} = \int_{V} \vec{\wp} \, d V)]로 정의한다. 이때, [math({\vec{p}}_{\text{sys}})]는 계의 총 선운동량을 나타내며, [math({\vec{p}}_{i})]는 [math(i)]번째 입자의 선운동량을 나타낸다. 또한 [math(\vec{\wp} = \vec{\wp}(\vec{x}))]는 위치 [math(\vec{x})]에서의 선운동량 밀도를 의미한다. 이러한 정의를 바탕으로 뉴턴은 [math(\Sigma \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t})]이라고 정의하였다.

마찬가지로 다입자계에서도 [math(\Sigma {\vec{F}}_{\text{sys}} = \frac{d {\vec{p}}_{\text{sys}}}{d t})]으로 정의하며, 연속체에서도 [math(\Sigma \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t})]으로 정의된다. 이때, 다입자계나 연속체는 각 부분 운동량(다입자계의 경우 각 입자의 운동량이고, 연속체의 경우 운동량 밀도)에 대하여 내력(inner force)이 작용하지만, 이것은 전체 계에 대하여 합할 경우 서로 상쇄되기 때문에 결국 계에 작용하는 알짜 힘은 외부에서 가하는 힘만 남게 된다. 하지만 고전역학에 장론이 포함된 경우 장도 운동량을 가지기 때문에 정확히 이와 같이 표현될 수 없다. 예를 들어, 전자기장은 [math(\vec{p} = {\mu}_{0} {\varepsilon}_{0} \int_{V} \vec{S} \, d V)]만큼의 운동량을 가진다. 여기서 [math(\vec{S} = \frac{1}{{\mu}_{0}} \vec{E} \times \vec{B})]은 포인팅 벡터(Poynting Vector)이다.

포인팅 벡터는 전기동역학에서 계의 총 에너지[* 계를 구성하는 입자의 역학적 에너지와 장이 가지는 에너지의 합] 밀도의 흐름을 나타내는 벡터인데, 이는 에너지의 흐름이 곧 운동량이라는 현대물리학적 해석을 암시하고 있다. 하지만 장에 걸리는 '힘'은 그 작용점을 정의할 수 없기 때문에 장에 대한 운동량의 변화율에 대해서는 따로 이름을 붙이지 않는다. 따라서 힘은 입자(또는 다입자계나 강체, 고체, 유체 등의 연속체)에 대해서만 정의를 내릴 수 있고, 장에 대해서는 따로 정의를 내리지 않는다.

=== 각운동량(Angular Momentum) ===
고전역학에서 정리된 각운동량은 [math(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p})]이다. 여기서 [math(\vec{L})]은 물체의 각운동량, [math(\vec{r})]은 회전축으로부터의 위치 벡터, [math(\vec{p})]는 물체의 선운동량이다. 만일 단일 입자라면 [math(\vec{L} = m {\vec{r}}^{2} \vec{\omega})]라고 나타낼 수 있다. 여기서 [math(\vec{\omega})]는 각속도 벡터로, 회전하는 물체가 이루는 평면에 수직이며, 그 방향은 오른손 법칙을 따른다.

선운동량과 마찬가지로 다입자계인 경우 [math({\vec{L}}_{\text{sys}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{L}}_{i})]라고 정의하며, 역시 연속체의 경우엔 [math(\vec{L} = \int_{V} \vec{\ell} \, d V)]로 정의한다. 여기서 [math({\vec{L}}_{\text{sys}})]는 계의 총 각운동량을 나타내며, [math({\vec{L}}_{i})]는 [math(i)]번째 입자의 각운동량을 나타낸다. 또한 [math(\vec{\ell} = \vec{\ell}(\vec{x}))]는 위치 [math(\vec{x})]에서의 각운동량 밀도를 의미한다. 여기서 각운동량은 다시 궤도각운동량과 스핀각운동량으로 나눌 수 있다. 궤도각운동량은 궤도축에 대한 질량중심의 각운동량이고, 스핀각운동량은 스핀축을 중심으로 회전하는 다입자계나 연속체 자체의 각운동량이다.

따라서 이것을 통해 기술하면 다입자계의 경우 [math({\vec{L}}_{\text{sys}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{L}}_{i} = {\vec{L}}_{\text{sys,or}} + {\vec{L}}_{\text{sys,sp}} = \vec{r} \times {\vec{p}}_{\text{sys}} + \sum_{i = 1}^{n} {\vec{r}}'_{i} \times {\vec{p}}'_{i} = m {\vec{r}}^{2} {\vec{\omega}}_{\text{or}} + \boldsymbol{I} \cdot {\vec{\omega}}_{\text{sp}})]로 나타내며, 연속체의 경우엔 [math(\vec{L} = \int_{V} \vec{\ell} \, d V = {\vec{L}}_{\text{or}} + {\vec{L}}_{\text{sp}} = \vec{r} \times \vec{p} + \int_{V} \vec{r}' \times \vec{\wp}' \, d V = m {\vec{r}}^{2} {\vec{\omega}}_{\text{or}} + \boldsymbol{I} \cdot {\vec{\omega}}_{\text{sp}})]로 나타낸다. 여기서 [math({\vec{L}}_{\text{sys,or}})]와 [math({\vec{L}}_{\text{sys,sp}})]는 각각 다입자계의 궤도각운동량과 스핀각운동량을 나타내고, [math(\vec{r} = (\sum {m}_{i} {\vec{r}}_{i}) / m)]은 궤도축에 대한 질량중심의 위치를 의미한다. 또한 [math({\vec{r}}'_{i})]는 스핀축에 대한 [math(i)]번째 입자의 위치를 나타내고, [math({\vec{p}}'_{i} = {m}_{i} {\vec{v}}'_{i})]는 질량중심에 대한 [math(i)]번째 입자의 선운동량이다.[* 왜냐하면 [math({\vec{v}}'_{i})]가 질량중심에 대한 [math(i)]번째 입자의 속도이기 때문이다.]

또한 [math(m = \sum {m}_{i})]는 계의 총 질량을 나타내며, [math(\boldsymbol{I})]는 계의 관성모멘트 텐서(inertia tensor)를 나타내고 그 정의는 [math({I}_{j}^{i} = \sum_{k = 1}^{n} ({{\vec{r}}'_{k}}^{2} {\delta}_{j}^{i} - {{r}'_{k}}^{i} {{r}'_{k}}_{j}) {m}_{k})]이다. 그리고 [math({\vec{L}}_{\text{or}})]과 [math({\vec{L}}_{\text{sp}})]는 각각 연속체의 궤도각운동량과 스핀각운동량이며, [math(\vec{r} = (\int_{V} \rho \vec{x} \, d V) / m)]은 궤도축에 대한 질량중심의 위치를 의미한다. 여기서 [math(\rho = \rho(\vec{x}))]는 질량의 체밀도이고, 연속체 전체의 질량은 [math(m = \int_{V} \rho \, d V)]이다. 또한 [math(\vec{r}' = \vec{r}'(\vec{x}))]는 스핀축에 대한 위치 [math(\vec{x})]의 위치이고, [math(\vec{\wp}' = \vec{\wp}'(\vec{x}))]는 스핀축에 대한 선운동량 밀도이다. 이것들은 다입자계와 비슷하게 이해할 수 있다.

또한 관성모멘트 텐서 [math(\boldsymbol{I})]도 [math({I}_{j}^{i} = \int_{V} ({\vec{r}'}^{2} {\delta}_{j}^{i} - {r}'^{i} {r}'_{j}) \rho \, d V)]으로 정의된다. 각운동량의 변화율인 토크(torque)는 [math(\vec{\tau} = \frac{d \vec{L}}{d t})]로 정의된다. 다입자계와 연속체의 경우도 힘과 비슷한 방식으로 정의되는데, 이때 각 부분 각운동량에 대한 변화율 중 내토크(inner torque)는 합하면서 상쇄된다. 또한 장 역시 각운동량을 가질 수 있다. 예를 들어, 전자기장은 [math(\vec{L} = {\mu}_{0} {\varepsilon}_{0} \int_{V} \vec{r} \times \vec{S} \, d V)]의 각운동량을 가진다. 하지만 이에 대한 변화율 역시 작용점을 지정하기 매우 곤란하기 때문에 토크로 정의하지 않는다.

=== 일반화운동량(Generalized Momentum) 또는 정준운동량(Canonical Momentum) ===
일반화운동량이나 정준운동량은 실제로 같은 물리량을 가리키지만, 그 내용이나 그것이 쓰이는 역학체계가 다르기 때문에 구분된다. 일반화운동량은 라그랑주역학에서 쓰이는 운동량으로, [math({p}_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}})]로 정의된다. 즉, 어떤 역학계에 대하여 그 계의 라그랑지안을 구했을 때 일반화속도에 대한 라그랑지안의 편도함수가 바로 일반화운동량이다. 만일 자기 퍼텐셜 에너지와 같이 속도에 의존하는 퍼텐셜 에너지 항이 있는 경우 장도 일반화운동량을 가지게 된다.

예를 들어, 전자기 퍼텐셜 에너지는 [math({E}_{\text{p}} = q \phi - \vec{I} \cdot \vec{A})]로 나타내는데, 여기서 [math(q)]는 전하, [math(\phi)]는 전기 퍼텐셜, [math(\vec{I} = q \vec{v})]는 전류, [math(\vec{A})]는 자기 퍼텐셜을 나타낸다. 이때, 자기 퍼텐셜 에너지 부분이 속도에 의존하기 때문에 전자기장이 가지는 일반화운동량 [math({p}_{i} = q {A}_{i})]가 생긴다. 정준운동량은 해밀턴역학에서 쓰이는 것으로, 정의는 같다. 하지만 해밀턴역학에서는 정준운동량도 운동을 기술하는 하나의 좌표로 인식하며, 해밀턴의 정준 운동 방정식 [math(\frac{d {q}^{i}}{d t} = + \frac{\partial H}{\partial {p}_{i}} \, , \; \frac{d {p}_{i}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial {q}^{i}} + {\mathcal{F}}_{i})]에서 기술하는 것처럼, 운동을 기술할 수 있다.

정준운동량은 고전역학에서는 그렇게 크게 쓸모가 있는 물리량은 아니지만, 통계역학이나 양자역학에서 많이 쓰이는 물리량이다. 왜냐하면 통계역학에서는 한 위상(phase) [math(({q}^{i}, {p}_{i}))]에서의 상태밀도가 언제나 일정하기 때문이며, 양자역학에서는 정준운동량으로 확장함으로써 전자기장과의 상호작용도 기술할 수 있기 때문이다.

== 현대물리학에서의 운동량 ==
현대물리학에서는 기본적으로 상대론적인 운동량과 양자역학적인 운동량을 기본으로 한다. 상대론적인 운동량은 수학적으로 4차원 민코프스키 운동량 공간 위에 있는 벡터로 정의되며, 기호는 [math({p}^{\mu})]이다. 양자역학적인 운동량은 운동량 연산자를 파동함수[* 입자의 존재 확률을 결정하는 장이다.]에 취하여 얻은 고유값을 의미하며, 고전적으로 볼 때 이 결과는 정준운동량과 같다.

=== 상대성이론에서의 운동량 ===
==== 상대성이론에서의 선운동량 ====
상대성이론에서 입자의 선운동량은 [math({p}^{\mu} = m {v}^{\mu})]으로 정의된다. 여기서 [math({v}^{\mu} = {d {x}^{\mu}} / {d \tau})]는 4차원적 속도(줄여서 4-속도)이다. 여기서 [math(d \tau = {d s} / {c})]는 고유시간(proper time)인데, 두 사건(event) 사이의 간격 [math(d s)]는 [math({d s}^{2} = {g}_{\mu \nu} {d x}^{\mu} {d x}^{\nu})](여기서 [math({g}_{\mu \nu})]는 계량 텐서)로 그 값을 알 수 있는데, 이것은 불변량이므로 고유시간 역시 불변량이다. 이 정의는 특수상대성이론에서나 일반상대성이론에서나 같다. 또한 장의 선운동량은 [math({p}^{\mu} = \int_{V} {\wp}^{\mu} \, d V)]로 정의된다. 여기서 [math({\wp}^{\mu} = ({u} / {c}, \vec{\wp}))]는 장의 4차원적 운동량(줄여서 4-운동량) 밀도이다. 여기서 에너지 밀도 [math(u)]와 운동량 밀도 [math(\vec{\wp})]는 [math({c}^{2} \, \nabla \cdot \vec{\wp} = - {\partial u} / {\partial t})]의 관계를 가진다.

==== 상대성이론에서의 각운동량 ====
상대성이론에서 입자의 각운동량은 [math({L}^{\mu \nu} = {r}^{\mu} \wedge {p}^{\nu} = {r}^{\mu} {p}^{\nu} - {r}^{\nu} {p}^{\mu})]으로 정의된다. 장의 각운동량도 역시 비슷하게 정의된다. 하지만 상대성이론에서 각운동량은 크게 중요하지 않은 물리량이므로 더 많이 설명하지 않겠다.

==== 에너지-운동량 텐서 ====
상대성이론에서 에너지와 선운동량, 중력 사이의 관계를 기술하는 것은 바로 에너지-운동량 텐서이다. 에너지-운동량 텐서 [math({T}_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} {T}_{0 0} & {T}_{0 j} \\ {T}_{i 0} & {T}_{i j} \end{bmatrix})]에서 [math({T}_{0 0})]는 상대론적 에너지 밀도, [math({T}_{0 j})]는 상대론적 에너지 흐름밀도, [math({T}_{i 0})]는 상대론적 선운동량 밀도, [math({T}_{i j})]는 상대론적 선운동량 흐름밀도이자 무한소 부피에 가해지는 변형력을 의미한다. 에너지-운동량 텐서는 대칭 텐서이기 때문에 에너지의 흐름밀도가 곧 선운동량 밀도임을 알 수 있다. 이 말은 상대성이론에 입각하여 바라본 운동량은 곧 에너지의 흐름이라는 말이다.

=== 양자역학에서의 운동량 ===
==== 양자역학에서의 선운동량 ====
양자역학에서의 선운동량은 선운동량 연산자 [math(\mathbf{p})]가 파동함수에 취해짐으로써 얻어낸 값을 의미한다. 이때, 얻어낸 선운동량은 [math(\vec{p} = m \vec{v})]이다. 그렇기 때문에 만일 전자기장의 영향을 받으며 운동하는 물체의 경우 정준운동량은 [math(\vec{p} = m \vec{v} - q \vec{A})]이기 때문에 해밀토니안을 구하기 위하여 취해지는 선운동량 연산자는 [math(\mathbf{p} - q \vec{A})]로 정의된다. 보통 전자기장의 영향을 받는 경우 [math(H \mapsto H - q \phi \, , \; \mathbf{p} \mapsto \mathbf{p} - q \vec{A})]으로 연산자를 치환하여 문제를 해결하는데, 이 치환법을 전자기 치환이라고 한다. 이렇게 치환한 경우 전자기장과의 상호작용을 통해 운동하는 모습을 보인다. 양자역학에서의 선운동량은 고전적인 선운동량이 연산자로 바뀐 것과 같다. 하지만 고전적인 운동량과 다른 점은 연산자 그 자체로 다시 처리할 필요 없이 4-운동량의 공간 성분을 계산할 수 있다는 것이다. 이 말은 양자역학에서의 선운동량은 실제로는 상대론적인 선운동량이지만 속력이 느린 경우 고전적인 선운동량과 거의 같기 때문에 그러한 성질을 가질 수 있다는 말이다. 선운동량 연산자는 [math(\mathbf{p} = - i \hbar \nabla)]으로 정의되며, 위치 연산자 [math(\mathbf{x})]와 [math([{x}^{i}, {p}^{j}] = i \hbar {\delta}^{i j})]의 불확정성 관계를 가진다. 또한 선운동량의 각 성분끼리는 불확정성 관계가 없다.

==== 양자역학에서의 각운동량 ====
양자역학에서 각운동량은 궤도각운동량 연산자와 스핀각운동량 연산자로 나눠서 계산한다. 궤도각운동량 연산자는 보통 [math(\mathbf{L})]로 표시하는데, 이것도 역시 파동함수에 취해짐으로써 그 값을 얻어낸다. 궤도각운동량 연산자는 각 성분들끼리 [math([{L}^{i}, {L}^{j}] = i \hbar {\varepsilon}_{k}^{i j} {L}^{k})]의 불확정성 관계를 갖는데, 이때 중요한 점은 궤도각운동량의 크기와는 불확정성 관계가 없다는 것이다. [math([{\mathbf{L}}^{2}, {L}^{i}] = 0)] 그렇기 때문에 일반적으로 궤도각운동량의 크기와 한 방향에 대한 성분만 가지고 풀이한다. 양자역학에서의 궤도각운동량은 고전적인 의미와는 거리가 먼데, 그 이유는 양자적 거동을 하는 입자의 이동 경로 역시 확정된 경로를 따르는 것이 아니라 가장 확률이 높은 이동 경로의 '띠'를 따라 움직이기 때문이다. 그렇기 때문에 원자에 있는 전자의 경우 궤도각운동량을 가지고 있기는 하나, 고전적인 궤도각운동량과는 의미 상 거리가 멀고, 단지 우리가 관측하는 순간 그러한 궤도각운동량을 갖는 궤도를 따라 돌고 있다고 해석해야 한다.[* 그 전까지는 확률적으로 존재하고 있는 것이다.]

또한 스핀각운동량 역시 궤도각운동량처럼 정의되는데, 보통 [math(\mathbf{S})]로 나타낸다. 궤도각운동량과 다른 점은 궤도각운동량은 다양한 양자상태를 가질 수 있지만 스핀각운동량은 오로지 2개뿐이다. 하지만 스핀각운동량 연산자도 [math([{S}^{i}, {S}^{j}] = i \hbar {\varepsilon}_{k}^{i j} {S}^{k})]의 불확정성 관계를 가지는데, 역시 궤도각운동량처럼 그 크기와는 불확정성 관계가 없다. [math([{\mathbf{S}}^{2}, {S}^{i}] = 0)] 하지만 스핀각운동량은 입자 자체의 성질에 기인하는 것이고, 궤도각운동량은 입자의 양자적 궤도 운동에 기인한 것이다. 따라서 수학적인 구조도 다른데, 궤도각운동량의 군론적 구조는 [math(\mathrm{SO(3)})]이고 스핀각운동량의 군론적 구조는 [math(\mathrm{SU(2)})]이다. 둘의 공통점은 단지 군의 구조가 같다는 것이다.

== 운동량의 보존 법칙 ==
운동량의 보존 법칙]]은 닫힌 계에서 운동량의 합은 항상 일정하다는 내용이다.[* 여기서 운동량이란, 선운동량과 각운동량을 둘 다 가리킨다.]

=== 선운동량의 보존 법칙 ===
어떤 계가 닫힌 계일 경우, 외부와 상호작용하지 않는다. 즉, 물리학적으로 물리량들이 그 계 내부에서만 서로 교환될 뿐 외부로 나가지 않는다는 의미이다. 이 경우, 외부로부터 들어오거나 나가는 선운동량이 없기 때문에 선운동량 흐름밀도 [math(\boldsymbol{\mathcal{T}})]는 [math({\mathcal{T}}^{i j} = 0)]이 된다. 그렇기 때문에 계의 총 선운동량의 변화율이 [math(\frac{d}{d t} ({\vec{p}}_{\text{par}} + {\vec{p}}_{\text{fld}}) = - \oint_{A} \boldsymbol{\mathcal{T}} \cdot \, d \vec{A} = \vec{0})]이므로 총 선운동량은 보존된다. 따라서 닫힌 계에 대하여 선운동량은 언제나 보존된다. 여기서 [math({\vec{p}}_{\text{par}})]는 모든 입자의 총 선운동량이고, [math({\vec{p}}_{\text{fld}})]는 장의 선운동량이다. 하지만 이러한 광역적 보존 법칙(global conservation law)는 서울에서 선운동량이 [math(\vec{p})]였던 입자가 갑자기 사라지고 뉴욕에서 동시에 그와 같은 양의 선운동량을 갖는 입자가 다시 나타나는 비물리적인 상황도 인정한다.

따라서 이러한 비물리적 상황을 없애기 위하여 국소적 보존 법칙(local conservation law)에 따라 생각하면, 선운동량의 교환 역시 국소적인 흐름으로 생각할 수 있다. 따라서 선운동량도 [math(\frac{\partial}{\partial t} ({\vec{\wp}}_{\text{par}} + {\vec{\wp}}_{\text{fld}}) = - \nabla \cdot \boldsymbol{\mathcal{T}})]이라는 연속 방정식을 가지게 된다. 선운동량은 이러한 연속 방정식을 가지기 때문에, 만일 두 입자가 장을 통해 상호작용을 할 경우엔 선운동량이 장에 실려 도달할 때까지의 시간이 걸린다. 실제로 장에 실려 전달되는 속도는 빛의 속도이다. 따라서 얼마간의 시간 동안 선운동량은 장에 실려 퍼지게 되고 만일 다른 입자가 그 선운동량을 받을 경우 그만큼 운동이 변한다고 이해할 수 있다.

=== 각운동량의 보존 법칙 ===
이 역시 닫힌 계에 대하여 만족하는 법칙이다. 즉, 외부로부터 들어오거나 나가는 각운동량이 없기 때문에 각운동량 흐름밀도 [math(\boldsymbol{\mathcal{K}})]는 [math({\mathcal{K}}^{i j} = 0)]이 된다. 따라서 총 각운동량의 변화율은 [math(\frac{d}{d t} ({\vec{L}}_{\text{par}} + {\vec{L}}_{\text{fld}}) = - \oint_{A} \boldsymbol{\mathcal{K}} \cdot \, d \vec{A} = \vec{0})]이므로 총 각운동량은 보존된다. 하지만 이러한 광역적 보존 법칙은 선운동량과 같이 비물리적 상황도 물리적인 상황으로 간주할 수 있기 때문에, 국소적 보존 법칙에 따라 생각할 경우 선운동량과 같이 [math(\frac{\partial}{\partial t} ({\vec{\ell}}_{\text{par}} + {\vec{\ell}}_{\text{fld}}) = - \nabla \cdot \boldsymbol{\mathcal{K}})]이라는 연속 방정식을 가지게 된다. 만일 장을 통해 각운동량이 퍼져나갈 때에도 마찬가지로 전파 속도는 빛의 속도와 같으며, 그렇기 때문에 얼마 동안 각운동량은 장에 실려 퍼지게 된다. 만일 어떤 연속체가 그 각운동량을 받게 되면 그만큼 운동이 변하게 된다.

== 영상 ==
[youtube(p8ZkLAdln1g)]

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運動量 / Momentum

[[물리학]]의 주요 물리량으로써 그 포괄적인 정의는 따로 두지 않는다.

== 영상 ==
[youtube(p8ZkLAdln1g)]

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