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폰 망골트 함수
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[[분류:가져온 문서/오메가]] Mangoldt's function, Von Mangoldt function, [math(\Lambda)] 수론적 함수 중 하나이다. == 정의 == [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{if } n=p^m \text{ for prime } p, m \in \Bbb N \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}</math> 로 정의한다. == 성질 == ===약수들에 대한 함숫값의 합=== [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\log n=\sum_{d|n}\Lambda(d)</math> ==== 증명 ==== [math(n=\prod_{i=1}^{k}p_k^{e_k})]라 하면 <math>\sum_{d|n}\Lambda(d)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{e_i}\log{p_i}=\sum_{i=1}^{k}\log{p_i^{e_i}}=\log{n}.</math> ===약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현=== [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\Lambda(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\log{\frac{n}{d}}=-\sum_{d|n}\mu(d)\log(d)</math> ====증명==== 위의 식에서 뫼비우스 반전 공식을 적용하면 된다. ===체비셰프 함수와의 관계=== 정의에 의해 다음이 성립한다. <math>\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)</math> [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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[[분류:가져온 문서/오메가]] Mangoldt's function, Von Mangoldt function, [math(\Lambda)] 수론적 함수 중 하나이다. == 정의 == [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{if } n=p^m \text{ for prime } p, m \in \Bbb N \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}</math> 로 정의한다. == 성질 == ===약수들에 대한 함숫값의 합=== [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\log n=\sum_{d|n}\Lambda(d)</math> ==== 증명 ==== [math(n=\prod_{i=1}^{k}p_k^{e_k})]라 하면 <math>\sum_{d|n}\Lambda(d)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{e_i}\log{p_i}=\sum_{i=1}^{k}\log{p_i^{e_i}}=\log{n}.</math> ===약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현=== [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여, <math>\Lambda(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\log{\frac{n}{d}}=-\sum_{d|n}\mu(d)\log(d)</math> ====증명==== 위의 식에서 뫼비우스 반전 공식을 적용하면 된다. ===체비셰프 함수와의 관계=== 정의에 의해 다음이 성립한다. <math>\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)</math> [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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