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[[분류:가져온 문서/오메가]] 環 / Ring 덧셈과 곱셈을 갖고 있는 대수적 구조 중 하나이다. == 정의 == 대수 구조 [math((R,+,\cdot))]이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다: * (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(\forall x \forall y :x+y=y+x)] * (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z))] * (A3, 덧셈의 항등원) [math(\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x)] * (A4, 덧셈의 역원) [math(\forall x\exists y: x+y=y+x=0)] * (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))] * (D1, 좌분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z)] * (D2, 우분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z)] A1~A4 에서 [math((R,+))] 가 [[아벨 군]]임을 알 수 있다. 저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다. * (M2, 곱셈의 항등원) [math(\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x)] 이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면 [math((R,\cdot))]는 [[모노이드]]임을 알 수 있다. ===가환환=== 여기서 다음 곱셈에 대한 교환법칙 >[math(\forall x \forall y : x\cdot y= y\cdot x)] 을 만족하면 이 환을 '''가환환'''(可換環, Commutative ring) 이라고 한다. === 유사환 === 환의 정의에서 곱셈의 항등원을 가지지 않는 대수 구조를 유사환(類似環, pseudoring)이라고 한다. 환과 유사환을 구별하지 않을 때에는 유사환을 환이라고 할 수도 있다. == 예시 == 환의 예시로는 다음이 있다. * 임의의 체 * 정수환 [math(\mathbb{Z})]과 이의 대수적 확대 * 불 대수 * 체 위에서 정의되는 행렬 대수 * 사원수 체계 == 영상 == [youtube(2y9P4qeralY)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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[[분류:가져온 문서/오메가]] 環 / Ring 덧셈과 곱셈을 갖고 있는 대수적 구조 중 하나이다. == 정의 == 대수 구조 [math((R,+,\cdot))]이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다: * (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(\forall x \forall y :x+y=y+x)] * (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z))] * (A3, 덧셈의 항등원) [math(\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x)] * (A4, 덧셈의 역원) [math(\forall x\exists y: x+y=y+x=0)] * (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))] * (D1, 좌분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z)] * (D2, 우분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z)] A1~A4 에서 [math((R,+))] 가 [[아벨 군]]임을 알 수 있다. 저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다. * (M2, 곱셈의 항등원) [math(\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x)] 이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면 [math((R,\cdot))]는 [[모노이드]]임을 알 수 있다. ===가환환=== 여기서 다음 곱셈에 대한 교환법칙 >[math(\forall x \forall y : x\cdot y= y\cdot x)] 을 만족하면 이 환을 '''가환환'''(可換環, Commutative ring) 이라고 한다. === 유사환 === 환의 정의에서 곱셈의 항등원을 가지지 않는 대수 구조를 유사환(類似環, pseudoring)이라고 한다. 환과 유사환을 구별하지 않을 때에는 유사환을 환이라고 할 수도 있다. == 예시 == 환의 예시로는 다음이 있다. * 임의의 체 * 정수환 [math(\mathbb{Z})]과 이의 대수적 확대 * 불 대수 * 체 위에서 정의되는 행렬 대수 * 사원수 체계 == 영상 == [youtube(2y9P4qeralY)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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