Proper base change theorem (편집)

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대수기하에서 쓰이는 정리로 sheaf cohomology에서도 있지만 étale cohomology에서도 중요하게 쓰이는 정리다.

== étale cohomology에서의 진술==
먼저 [math(X)]와 [math(Y)]를 noetherian scheme이라고 하고 [math(\mathscr{F})]를 [math(Y)]의 torsion sheaf라고 하자. 그리고 우리는 다음 Cartesian diagram을 만들자.

[math( \begin{aligned} &X\!\times_{S}\!Y\overset{f'}{\longrightarrow} Y \\ &\;\;\;\;\;\downarrow \!{}_{g'} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\downarrow \!{}_{g} \\ &\;\;\;\;\;X \underset{f}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\!\!\!\!\longrightarrow} S\end{aligned})]

이 때 [math(f:X\to S)]쪽이 proper morphism이면 다음이 성립한다.

[math(g^{*}(R^nf_{*}\mathscr{F})=R^nf^{'}_{*}({g^{'}}^{*}\mathscr{F}))]

== 설명 ==
[math(g^{*})]와 [math(g_{*})]는 서로 adjoint functor 관계이므로 [math(\mathscr{F}\to g'_{*}g'^{*}\mathscr{F})]이고 양변에 [math(f_{*})]를 씌우면

[math(f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})]

이라는 natural morphism을 만들 수 있게 된다. 이제 같은 방법으로

[math(g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})]

라는 natural morphism을 쉽게 얻을 수 있다. 이 방법하고 비슷하게 derived category로

[math(g^*(\mathrm{R}f_{*}\mathscr{F}^{\bullet})\to \mathrm{R}f'_{*}(g'^{*}\mathscr{F}^{\bullet}))]

라는 natural morphism을 얻을 수 있게 된다. 여기에서 [math(\mathscr{F}^{\bullet})]은 [math(Y)]의 bounded below인 sheaf들의 complex다.

proper base change theorem의 의미는 이 natural morphism을 등호로. 그러니까 isomorphism으로 만들 수 있다는 정리다. 그렇기 때문에 이 정리는 뭔가를 바꿔야만 할 대 아주 자주 쓰이며 étale cohomology의 기본이 되는 정리다.

== 유한성 ==
이 정리를 이용하면 [math(X)]가 complete variety on separable closed field이고 [math(\mathscr{F})]가 [math(X)]에서 constructible일 때 [math(H_{ét}^n(X,\mathscr{F}))]가 finite라는 정리를 만들 수 있다. 그리고 이는 proper base change theorem과 동시에 증명된다.

== 증명 ==
우리는 먼저 증명을 쉽게 하기 위해서 case를 줄여보자. inverse limit를 쓰면 limit theorem이라는 것에 의해서 [math(Y)]를 finite generated라고 할 수 있다. 그리고 우리는 stalk에 대해서만 isomorphism을 증명해도 증명하려는 것의 등호를 만들 수 있으므로 stalk로 관심을 옮길텐데

[math(y:\text{Spec}\,k\to Y)]

가 geometric point라고 하고

[math(Y(t):=\text{Spec}\,\tilde{\mathcal{O}}_{Y,y})]

를 생각하자. 여기에서 [math(\tilde{\mathcal{O}_{Y,y}})]는 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]의 strict local ring이다.

우리는 [math(\mathscr{G})]를 [math(X_{Y})]의 sheaf라고 하자.

그러면 [math(\mathscr{F}(t))]를 [math(X_{Y}\times _{Y}Y(t)\to X_{Y})]의 inverse image로 [math(\mathscr{G})]를 보낸 것이라고 하면 우리는 다음을 알 수 있다.

[math((R^nf'_{*}\mathscr{G})_{t}=H^{n}(X_{Y}\times_{Y}Y(t),\mathscr{G}(t)))]

우리는 이것에 대해서만 증명해주면 되는 것이다. 다른 쪽에서도 똑같이 해주면 우리는 이 두 case에 대해서만 증명해주면 된다.

[math(S)]를 [math(\text{Spec}\,k)]라고 두고 [math(Y=\text{Spec}\,K)]이다. 여기에서 [math(K)]는 [math(k)]의 finite algebraic extension이다. 물론 [math(k)]는 separably closed이다.

[math(S)]는 strictly Henselian ring의 spectrum이고 [math(Y)]는 그 ring의 residue field의 spectrum이다.

여기에서 첫번째 경우는 쉽게 증명할 수 있으므로 여기에서는 두 번째에 대해서만 증명하도록 하겠다.

이제 위의 strictly Henselian ring을 [math(A)]라고 하고 [math(S)]를 [math(A)]의 spectrum이라고 하자.

[math(k)]를 [math(A)]의 residue field라고 하고 [math(s:\text{Spec}\,k\to S)]를 geometric point라고 하자.

그러면 우리는 [math(X_s:=X\times \text{Spec}\,k)]라고 하고 [math(\mathscr{F}_{s})]을 [math(\mathscr{F})]을 [math(X_{s}\to X)]의 inverse로 보낸 것이라고 하면

[math(H^n(X,\mathscr{F})=H^n(X_{s}\mathscr{F}_{s}))]

임을 증명하면 된다.

이 상황을 위의 상황과 대치시켜본다면 [math(X_{Y}\times_{Y}Y(y)=X\times \text{Spec}\,k)]가 되었으니 [math(A=\tilde{\mathcal{O}}_{Y,y})]라고 두고 [math(\mathscr{G}(t)=\mathscr{F}_{s}=\mathscr{G}_{s})]라고 두었다고 할 수 있다.

우리는 [math(X_s)]의 dimension에 때해서 생각해 볼 텐데 [math(X_s)]의 dimension이 [math(0,1)]이라면 다음이 성립한다.

[math(\dim{X_s}\le 1)]이라고 하자.

그러면 [math(k)]가 [math(\mathcal{O}_{X})]에서 invertible이면 [math(H^n(X,\Bbb{Z}/k\Bbb{Z})\to H^n(X_s,\Bbb{Z}/k\Bbb{Z}))]는 [math(n)]이 [math(0)]이면 bijective가 되고 [math(n\ge 1)]이면 surjective가 된다.

먼저 [math(n\ge 3)]이면 모두 [math(0)]이 되므로 생각할 필요가 없고 [math(n=0)]일 때는 Zariski's main theorem하고 똑같고 [math(n=1)]일 때는 [math(X_s)]의 Galois covering을 생각하면 된다. 자세한 건 밑에서 설명하겠다.

[math(A)]의 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하고 [math(A/\mathfrak{m}^n)]을 생각하자. 그리고 다음 정리를 보자.

[math(X_s)]의 Galois covering은 모두 [math(X_k=X\otimes \varprojlim A/\mathfrak{m}^k)]으로 확장할 수 있다.

이제 우리는 이 정리를 바탕으로 다음을 전개하자.

[math(B)]를 noetherian [math(A)]-algebra라고 하면 [math(F(B))]를 [math(X\otimes B)]의 isomorphic classes of Galois covering이라고 하자. 그러면 [math(F)]는 functor가 되며 locally of finite prosentable이 된다. 그러니까 inverse limit를 안으로 넣을 수 있게 된다. 이것으로 Artin approximation theorem를 쓰면 [math(n=1)]일 때의 증명을 얻을 수 있다.

이제 [math(i=2)]일 때만 증명하면 되는데 다음 commutative diagram을 보자.

[math(\begin{aligned} &\text{Pic}\,X\longrightarrow H^2(X,\mu_n) \\ & \;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \\ & \text{Pic}\,X_{s}\longrightarrow H^2(X_s,\mu_{n}),\end{aligned})]

이는 Hilbert theorem 90과 [math(0\to \mu_n\to \mathcal{O}^{\times}_{X}\to \mathcal{O}^{\times}_{X}\to 0)]이라는 exact sequence로 쉽게 얻어낼 수 있다. 이 때 왼쪽이 surjective가 되게 하고 이를 오른쪽 줄로 옮기고 싶다. 그러므로 우리는 다음을 증명해야 한다.

모든 [math(X_s)]의 invertible sheaf는 [math(X)]로 옮길 수 있다.

이것을 증명하면 [math(k)]를 separably closed라고 하면 [math(A)]는 Henselian이므로 primitive [math(n)]-root of unity를 모두 가지게 되고 [math(\mu_n)]를 [math(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})]로 바꿀 수 있게 되면서 [math(i=2)]일 때에도 증명이 끝난다.

이를 증명하는 데 exact sequence를 하나 만들 텐데 [math(\mathscr{I}:=\text{Ker}\,(\mathcal{O}_{X_{k+1}}\to \mathcal{O}_{X_{k}}))]라고 하자. 그러면

[math(0\to \mathscr{I}\to \mathcal{O}^{\times}_{X_{k+1}}\to \mathcal{O}^{\times}_{X_k}\to 0)]

임을 알 수 있고 [math(\mathscr{I})]가 coherent이므로 [math(H^2(X_s,\mathscr{I})))]는 터지게 된다. 이것이 터진다는 것은 바로

[math(H^1(X_s,\mathcal{O}^{\times}_{X_{k+1}})\to H^1(X_s,\mathcal{O}^{\times}_{X_k}))]

의 surjective성을 말하고 이것으로 [math(n=2)]일 때의 증명이 끝났다.

이는 손쉽게 constructible sheaf로 옮길 수 있고 정리하면 이렇게 된다.

[math(\mathscr{F})]가 [math(X)]에서 [math(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})]-module의 constructible sheaf라고 한다. 그러면 적당한 [math(\mathscr{G})]가 있어서 [math(\mathscr{F})]를 subsheaf로 만들고 [math(n=0)]일 때 [math(H^0(X,\mathscr{G}_s)=H^0(X,\mathscr{G}_s))]가 되고 [math(H^n(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s))]는 surjective가 된다.

이제 먼저 [math(\mathscr{G})]를 [math(\mathscr{F})]로 바꾸고 surjective를 isomorphic, 즉 화살표를 등호로 만들어야 하는데 등호로 만들려면 injective가 필요하다. [math(\mathscr{G})]를 [math(\mathscr{F})]로 바꾸는 것은 쉬운 편으로

[math(\begin{aligned} &0-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{F})-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{G})-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{G}/\mathscr{F}) \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow  \\ &0\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{F}_s)\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{G}_s)\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{G}_s/\mathscr{F}_{s})\end{aligned})]

라는 commutative diagram을 보면 손쉽게 [math(H^0(X,\mathscr{F})\to H^0(X_s,\mathscr{F}_s))]쪽이 injective임을 알아챌 수 있으며 같은 원리로 [math(H^0(X,\mathscr{G}/\mathscr{F})\to H^0(X_s,\mathscr{G}_s/\mathscr{F}_s))]가 injective니까 우리는 [math(H^0(X,\mathscr{F})=H^0(X_s,\mathscr{F}_s))]임을 알 수 있다.

이제 나머지는 induction을 쓰면 되는데 먼저 [math(H^n(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s))]이 injective임을 보이자. 먼저

[math(0\to \mathscr{G}\to \mathscr{I}\to \mathscr{J})]

라는 short sexact sequence를 생각하자.

여기에서 [math(\mathscr{I})]를 injective라고 할 수 있으며 long exact cohomology sequence로

[math(\begin{array}{ccccccccc}H^{n-1}(X,\mathscr{I}) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n-1}(X,\mathscr{J}) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n}(X,\mathscr{G}) & \rightarrow & 0 \\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\H^{n-1}(X_s,\mathscr{I}_s) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n-1}(X_s,\mathscr{J}_s) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n}(X_s,\mathscr{G}_s)\end{array})]

라는 걸 얻을 수 있다. 그러므로 [math(H^{n}(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s))]는 injective이므로 isomorphism이 된다.

이제 [math(n=0)]일 때하고 똑같이 해주면 [math(H^n(X,\mathscr{F})=H^n(X_s,\mathscr{F}))]임을 알 수 있다.

이제 이것은 [math(\dim{X_s}\le 1)]일 때의 증명이니 이걸 확장시켜야 한다.

먼저 [math(X=\Bbb{P}^1_{S}\times \cdots \times \Bbb{P}^1_{S})]일 때 되고 이제

[math(p:\Bbb{P}^1_{S}\times \cdots \times \Bbb{P}^1_{s}\to \Bbb{P}^d_{S})]

라는 surjective mapping을 생각하자.

그러면 [math(\mathscr{G}\to p_*p^*\mathscr{G})]라는 mapping은 injective이므로 [math(\Bbb{P}^n_{S})]에서 증명이 끝나고 나머지는 [math(f)]가 projective morphism이라면

[math(f:X\hookrightarrow \Bbb{P}^n_{S}\to S)]

로 [math(f)]를 쪼갤 수 있으므로 증명이 끝난다. 그리고 일반적인 proper morphism에 대해서는 Chow's lemma를 쓰면 된다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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