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부분군
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== 정의 == 군 [math((G,⋅))]에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 [math(G)]의 부분집합 [math(H(≠∅))]을 [math(G)]의 부분군이라고 한다. 1. [math(e∈H)] 2. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)] 3. [math(∀a∈H a^{−1}∈H)] 이는 다음과 동치이다. 1. [math(∀a,b∈H a⋅b^{−1}∈H)] [One-Step Subgroup Test] 2. [math(∀a,b∈H a^{−1}∈H,a⋅b∈H)] [Two-Step Subgroup Test] [math(G)]가 유한군인 경우 [math(G)]의 임의의 원소 [math(a)]는 유한한 주기 [math(n)]를 가지므로 [math(a^{−1}=a^{n−1})]이다. 따라서 [math(G)]가 유한군인 경우 [math(H)]가 부분군일 조건은 다음과 동치이다. 1. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)] [math(G)]가 이미 군이므로 결합법칙을 만족하고, 따라서 결합법칙은 부분군의 조건에서 생략될 수 있다. [math(G)] 자신과 자명군 [math(\{e\})]는 항상 [math(G)]의 부분군이며, 이 때 부분군으로서의 자명군을 자명부분군(trivial subgroup)이라고 한다. [math(G)]와 자명부분군을 제외한 [math(G)]의 부분군들을 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.
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== 정의 == 군 [math((G,⋅))]에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 [math(G)]의 부분집합 [math(H(≠∅))]을 [math(G)]의 부분군이라고 한다. 1. [math(e∈H)] 2. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)] 3. [math(∀a∈H a^{−1}∈H)] 이는 다음과 동치이다. 1. [math(∀a,b∈H a⋅b^{−1}∈H)] [One-Step Subgroup Test] 2. [math(∀a,b∈H a^{−1}∈H,a⋅b∈H)] [Two-Step Subgroup Test] [math(G)]가 유한군인 경우 [math(G)]의 임의의 원소 [math(a)]는 유한한 주기 [math(n)]를 가지므로 [math(a^{−1}=a^{n−1})]이다. 따라서 [math(G)]가 유한군인 경우 [math(H)]가 부분군일 조건은 다음과 동치이다. 1. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)] [math(G)]가 이미 군이므로 결합법칙을 만족하고, 따라서 결합법칙은 부분군의 조건에서 생략될 수 있다. [math(G)] 자신과 자명군 [math(\{e\})]는 항상 [math(G)]의 부분군이며, 이 때 부분군으로서의 자명군을 자명부분군(trivial subgroup)이라고 한다. [math(G)]와 자명부분군을 제외한 [math(G)]의 부분군들을 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.
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