수열의 극한 (편집) (1)

== 정의 ==
수열 [math( \{ a_n \})]의 극한은 다음과 같이 정의한다.

* [math(\{a_n\})]이 실수열일때, 어떤 [math(a \in \Bbb{R})]이 있어 모든 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(N \in \mathbb{N})]이 존재하여 [math(n > \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(|a_n -a|<\epsilon)] 이 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.
* [math(\{a_n\})]이 거리함수 [math(d)]를 갖는 [[거리공간]] [math(X)]에서의 수열일 때, 어떤 [math(a \in X)]가 있어 모든 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(N \in \Bbb{N})]이 존재하여 [math(n \geq \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여 [math(d(a_n,a)<\epsilon)] 이 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.
* [math(\{a_n\})]이 위상공간 [math(T)]에서의 수열일 때, 어떤 [math(a \in T)]가 있어 [math(a)]의 임의의 근방 [math(O)]에 대해 [math(N \in \Bbb{N})]이 존재하여 [math(n \geq \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여 [math(a_n \in O)]가 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.

수열 [math(\{a_n\})]의 극한이 [math(a)]일 때 [math(\lim_{n \to \infty} a_n=a)]로 표기한다.

수열의 극한이 존재할 때 이 수열은 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다.

사실 [math(\Bbb{R})]은 거리공간이며 거리공간은 위상공간의 한 부분이므로 실수열의 극한의 정의와 거리공간에서의 실수의 극한의 정의는 위상공간에서의 수열의 극한의 정의의 특수한 경우이다.

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== 정의 ==
수열 [math( \{ a_n \})]의 극한은 다음과 같이 정의한다.

수열 [math(\{a_n\})]의 극한이 [math(a)]일 때 [math(\lim_{n \to \infty} a_n=a)]로 표기한다.

수열의 극한이 존재할 때 이 수열은 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다.

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