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페아노 산술
(편집) (1)
(편집 필터 규칙)
179,1092
== 정의 == 페아노 산술은 다음과 같은 요소들로 이루어져 있다 : * 논리 기호들과 등호 ([math(=)]) * 상수 기호 [math(0)] * 두 자리 관계 기호 [math(\le)] * 한 자리 함수 기호 [math(S)] * 두 자리 함수 기호 [math(+)], [math(\cdot)] 페아노 산술은 1차 이론으로, 1차 논리학의 논리 공리들과 추론 규칙들을 포함하고 있다. 또한 다음과 같은 공리들을 갖고 있다: * [math(\forall x [S(x)\neq 0])] * [math(\forall x\forall y [S(x)=S(y)\to x=y])] * [math(\forall x \forall y (x\le S(y) \land x\neq y\to x\le y))] * [math(\forall x\forall y (x\le y \lor y\le x))] * [math(\forall x (x\le 0 \to x=0))] * [math(\forall x (x+0=x))] * [math(\forall x\forall y x+S(y)=S(x+y))] * [math(\forall x (x\cdot 0=0))] * [math(\forall x \forall y [x\cdot S(y)=x\cdot y+x])] * 임의의 1차 문장 [math(\phi)]에 대해 [math(\phi(0) \land \forall x [\phi(x)\to \phi(S(x){{{)}}}{{{]}}}\to \forall x \phi(x))] 마지막 공리는 하나의 공리가 아니라 각 [math(\phi)]에 대해서 주어지는 공리꼴이다. 페아노 산술은 각 문헌마다 정의가 약간씩 다르게 나와 있다. 하지만 그 정의들은 모두 동치이다. 형식 이론은 공리들의 집합으로 정해지는 것이 아니라 공리들로부터 생성된 형식 이론임에 유의하라.
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== 정의 == 페아노 산술은 다음과 같은 요소들로 이루어져 있다 : * 논리 기호들과 등호 ([math(=)]) * 상수 기호 [math(0)] * 두 자리 관계 기호 [math(\le)] * 한 자리 함수 기호 [math(S)] * 두 자리 함수 기호 [math(+)], [math(\cdot)] 페아노 산술은 1차 이론으로, 1차 논리학의 논리 공리들과 추론 규칙들을 포함하고 있다. 또한 다음과 같은 공리들을 갖고 있다: * [math(\forall x [S(x)\neq 0])] * [math(\forall x\forall y [S(x)=S(y)\to x=y])] * [math(\forall x \forall y (x\le S(y) \land x\neq y\to x\le y))] * [math(\forall x\forall y (x\le y \lor y\le x))] * [math(\forall x (x\le 0 \to x=0))] * [math(\forall x (x+0=x))] * [math(\forall x\forall y x+S(y)=S(x+y))] * [math(\forall x (x\cdot 0=0))] * [math(\forall x \forall y [x\cdot S(y)=x\cdot y+x])] * 임의의 1차 문장 [math(\phi)]에 대해 [math(\phi(0) \land \forall x [\phi(x)\to \phi(S(x){{{)}}}{{{]}}}\to \forall x \phi(x))] 마지막 공리는 하나의 공리가 아니라 각 [math(\phi)]에 대해서 주어지는 공리꼴이다. 페아노 산술은 각 문헌마다 정의가 약간씩 다르게 나와 있다. 하지만 그 정의들은 모두 동치이다. 형식 이론은 공리들의 집합으로 정해지는 것이 아니라 공리들로부터 생성된 형식 이론임에 유의하라.
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