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환
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== 정의 == 대수 구조 [math((R,+,\cdot))]이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다: * (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(\forall x \forall y :x+y=y+x)] * (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z))] * (A3, 덧셈의 항등원) [math(\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x)] * (A4, 덧셈의 역원) [math(\forall x\exists y: x+y=y+x=0)] * (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))] * (D1, 좌분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z)] * (D2, 우분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z)] A1~A4 에서 [math((R,+))] 가 [[아벨 군]]임을 알 수 있다. 저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다. * (M2, 곱셈의 항등원) [math(\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x)] 이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면 [math((R,\cdot))]는 [[모노이드]]임을 알 수 있다.
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== 정의 == 대수 구조 [math((R,+,\cdot))]이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다: * (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(\forall x \forall y :x+y=y+x)] * (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z))] * (A3, 덧셈의 항등원) [math(\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x)] * (A4, 덧셈의 역원) [math(\forall x\exists y: x+y=y+x=0)] * (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))] * (D1, 좌분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z)] * (D2, 우분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z)] A1~A4 에서 [math((R,+))] 가 [[아벨 군]]임을 알 수 있다. 저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다. * (M2, 곱셈의 항등원) [math(\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x)] 이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면 [math((R,\cdot))]는 [[모노이드]]임을 알 수 있다.
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