LU 분해 (편집) (1) - 시드위키

== 정의 ==
A를 정방행렬(square matrix)이라고 두자. LU 분해는 A를, 적절한 행 혹은 열의 순서화(ordering)나 순열을 이용해 두 요소인 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U로 행렬분해한 것이다.

[math(A=LU)]

하삼각행렬에서 대각선 위의 모든 성분은 0이고, 상삼각행렬에서 대각선 아래의 모든 성분은 0이다. 예를 들어, 3 X 3 행렬 A의 LU 분해는 아래와 같다.

[math( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0\\ l_{21} & l_{22} &0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix} )]

행렬의 적절한 순서 또는 순열 없이는 행렬분해가 실현되지 않을 수 있다. 예를 들어, [math(a_{11} = l_{11}u_{11} = 0)]은 행렬 곱셈을 확대하는 방법을 이용하면 확인이 쉽다. 따라서 최소한 [math( l_{11})]과 [math(u_{11})] 중 하나는 0이어야 하며, 이것은 L과 U 중 하나는 비가역(singular)이어야 함을 뜻한다. A가 가역이면 이것은 불가능하므로 절차상의 문제이다. 이 문제는 A의 행을 재정렬해 순열 행렬의 첫 번째 원소를 0이 아니도록 함으로써 해결할 수 있다. 이후의 분해 단계에서 발생하는 같은 문제 또한 같은 방법으로 해결할 수 있다.

행 또는 열에서의 적절한 순열이 LU 분해의 충분조건임이 드러난다. '부분 피봇팅에 의한 LU분해'(LU factorization with Partial Pivoting)는 종종 행 순열의 LU 분해를 아래의 식에 대해서만 지칭한다.

[math(PA = LU)]

이 식에서 P는 순열 행렬이다. 모든 정방행렬이 이 형태로 분해될 수 있으며[* Okunev & Johnson (1997), Corollary 3], 분해는 산술적으로 안정하다.[* Trefethen & Bau (1997), p. 166] 이것은 LUP 분해를 유용한 기술로서 사용할 수 있도록 한다.

'완전 피봇팅에 의한 LU 분해'는 아래와 같은 형태를 띤다.

[math(PAQ = LU)]

Q는 A의 열을 재정렬한다. LDU 분해는 아래와 같은 분해 형태이다.

[math(A=LDU)]

D는 대각행렬(diagonal matrix)이고 L과 U는 ''단위'' 삼각행렬들이다.

A가 정방행렬이라는 전제를 두었지만, 이 분해법들은 직사각행렬로 일반화할 수 있다. 이 경우, L과 D는 A와 행의 개수가 일치해야 하며, U는 A와 같은 차원이어야 한다.

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