상대성 이론 (편집) (2)

== 현대적인 시공간 개념: 민코프스키 공간 ==
전기동역학을 연구하던 물리학자 헨드릭 로렌츠(Hendrik Lorentz)는 우연히 다음과 같은 좌표 변환이 맥스웰 방정식을 불변하게 함을 알아냈다.

[math( \begin{bmatrix} c t ' \\ \mathbf{x} ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & - \gamma \! \frac{\mathbf{v}^{\mathrm{T}}}{c} \\ - \gamma \! \frac{\mathbf{v}}{c} & \boldsymbol{I} + (\gamma - 1) \! \frac{\mathbf{v} \mathbf{v}^{\mathrm{T}}}{{v}^{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ \mathbf{x} \end{bmatrix} )]

이 식에서 [math( \gamma = {1} / {\sqrt{1 - \left ( {{v}^{2}} / {{c}^{2}} \right ) }} )]이다. 그러나 그 자신은 이것이 어떤 것을 의미하는지 설명하지 못했다. 이것에 대한 수학적 의미는 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 처음으로 발견하였다. 하지만 그도 고전적인 시공간 개념을 고집하여 결국 새로운 시공간 개념을 주장하지 못했다. 그 후, 아인슈타인이 ''광속 일정의 법칙''과 ''상대성 원리''를 가지고 만든 특수 상대성 이론에서 그 의미를 내포하게 되었다. 아인슈타인의 논문이 발표된 후 수학자였던 헤르만 민코프스키(Herman Minkowski)가 그에 맞는 시공간 구조를 수학적으로 구상하고 민코프스키 공간(Minkowski Space)라는 이름을 얻게 되었다. 이 민코프스키 공간에서의 모든 변환은 수학적으로 푸앵카레 군(Poincaré Group)에 존재한다.

현대적인 시공간 개념에서 유념해야 할 부분은 바로 광속 일정의 법칙이다. 이는 광속은 어디서나 일정하다는 법칙인데, 관측자가 있는 지점에서 광속은 언제나 [math( c )]라는 것이다. (다른 지점을 관찰하는 경우 그 지점의 곡률에 따라서 관측값이 영향을 받을 수 있다.) 이 시공간은 특이한 점이 좌표 변환에서 속도에 수직하지 않는 한 각 좌표 방향 성분의 영향을 받는다. 이것은 시간과 공간이 별개의 것이 아님을 말해주는 것이다. 그리고 시간과 거리는 상대적으로 변하는데, 무한소 시간은 [math( d t )], 무한소 거리를 [math( d l )]이라 한다면, [math( d t = \gamma d {t}_{0} , d l = \frac{1}{\gamma} \! d {l}_{0} )]이다. 여기서 [math( d {t}_{0} )]는 '''고유시간(Proper Time)'''이라 하는데, 이것은 관측 대상이 잰 시간을 나타낸다. 또한 [math( d {l}_{0} )]는 '''고유길이(Proper Length)'''라고 하는데, 이것은 관측자가 잰 길이를 나타낸다. 즉, 관측자가 잰 시간은 운동하는 물체가 잰 시간보다 길다. 또한 관측자가 잰 길이는 운동하는 물체가 잰 길이보다 길다. 이를 각각 '''시간 팽창'''과 '''길이 수축'''이라고 부른다. (''고유''에서 ''고유''가 아닌 것으로 변환하는 것을 기준으로 이름 붙임.) 참고로 이 식에 따르면 관측자가 잰 시간 또는 길이와 관측 대상이 잰 시간 또는 길이는 서로 [math( \gamma : 1)]의 비를 가짐을 알 수 있다.

고전적인 시공간 개념에서는 시간과 공간이 각각 별개였고 공간의 계량 텐서는 (직교좌표계를 쓰면) [math( {\delta}_{i j} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} )]이다. 이러한 성질을 가지는 것은 3차원 유클리드 공간 [math( {\Bbb{E}}^{3} )]이며, 고전적인 공간은 3차원 유클리드 공간이었던 것이다. 하지만 민코프스키 공간 [math( {\Bbb{M}}^{4} )]에서는 시간과 공간이 별개가 아니고 시공간의 계량 텐서는 (유사직교좌표계를 쓰면) [math( {\eta}_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} )]이다. (위와 같은 표기법을 흔히 (+---) 표기법이라고 한다.) 물리학에서 3차원 공간에 존재하는 한 입자의 지점을 '''위치(Position)'''라고 한다면, 4차원 공간에 존재하는 한 입자의 지점을 '''사건(Event)'''이라고 부른다. 민코프스키 공간에서 사건이 이동한 경로인 '''세계선(World Line)'''의 길이를 구하는 방법은 3차원 공간에서 입자의 '''이동경로(Path)'''를 구하는 방법인 [math( s = \int_{l} d s = \int_{l} \sqrt{{\delta}_{i j} {d x}^{i} {d x}^{j}} )]와 유사하게 [math( s = \int_{\mathit{\lambda}} d s = \int_{\mathit{\lambda}} \sqrt{{\eta}_{\mu \nu} {d x}^{\mu} {d x}^{\nu}} )]이다. 이때 [math( {d s}^{2} )]이 어떠하느냐에 따라 '''시간적(timelike)''', '''공간적(spacelike)''', '''널(null)''' 간격이라고 부른다. 시간적 간격은 [math( {d s}^{2} > 0 )]인 경우이고, 공간적 간격은 [math( {d s}^{2} < 0 )]인 경우이다. 널 간격은 [math( {d s}^{2} = 0 )]인 경우를 말한다. 우리가 일상적으로 느끼는 인과율의 원리가 통하는 간격은 시간적 간격이고, 빛은 널 간격을 따라 진행한다. 또한 양자장론에서 상대론적 인과율을 고려하는 경우 공간적 간격을 고려하여 특별한 조건을 가한다.

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