어려운 수학문제 쉽게 만들기 (편집) (2)

==# 두 번째 예제 #==
경시성 문제를 만들기 위해 난이도가 있어보이는 경시문제를 4개 정도 가져오자.

* [math(\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{(x-3)(x-4)}=\sqrt{9x^2-54x+75})]이면, [math(x=\frac{46-\sqrt{241}}{15})]이다.
* [math(a_i \in \Bbb{Q},\ i \in [0,n])]이 [math(\sum_{i=0}^{n-1} a_i \sqrt[n]{2^i}=0)]을 만족하면 [math(\forall i\ a_i=0)]이다.
* [math(S=\{1,2, \cdots, n\})]이고 [math(A)]는 [math(\forall i,j \in S)]에 대해 [math((i,j),(k,j) \in A)]인 정확히 [math(n)]개의 [math(k)]가 존재하는 [math(S)]의 원소들의 쌍들의 모임이라 하자. 이 때, [math(m \leq n)]이다.
* 점 [math(D)]가 부등변삼각형 [math(ABC)] 내부에서 [math(\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ})]과 [math(\overline{AC}\ \overline{BD}=\overline{AD}\ \overline{BC})]를 만족할 때, [math(\frac{\overline{AB}\ \overline{CD}}{\overline{AC}\ \overline{BD}}=\sqrt{2})]이다.

용도에 맞게 문제를 조금 수정하자.

* [math(\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{(x-3)(x-4)}=\sqrt{9x^2-54x+75})]이면, [math(900 x^2-5520x+7504=4)]이다.
* [math(a_i \in \Bbb{Q},\ i \in [0,n])]이 [math(\sum_{i=0}^{n-1} a_i \sqrt[n]{2^i}=0)]을 만족하면 [math(\sum_{i=1}^{n}(a_i+1)^i=n)]이다.
* [math(S=\{1,2, \cdots, n\})]이고 [math(A)]는 [math(\forall i,j \in S)]에 대해 [math((i,j),(k,j) \in A)]인 정확히 [math(n)]개의 [math(k)]가 존재하는 [math(S)]의 원소들의 쌍들의 모임이라 하자. 이 때, [math(\max{(m-n)}=0)]이다.
* 점 [math(D)]가 부등변삼각형 [math(ABC)] 내부에서 [math(\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ})]과 [math(\overline{AC}\ \overline{BD}=\overline{AD}\ \overline{BC})]를 만족할 때, [math(\frac{\overline{AB}\ \overline{CD}}{\overline{AC}\ \overline{BD}}=\sqrt{2})]이다.

이제 문제들을 모두 연결하자.

<math>\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{(x-3)(x-4)}=\sqrt{9x^2-54x+75}</math>인 <math>x</math>에 대하여 <math>\sum_{i=0}^{n-1} a_i \sqrt[n]{(900 x^2-5520x+7504)^{i/2}}=0</math>인 <math>a_i \in \Bbb{Q},\ i \in [0,n]</math>을 생각할 때, <math>S=\{1,2, \cdots, n\}</math>이고 <math>A</math>는 <math>\forall i,j \in S</math>에 대해 <math>(i,j),(k,j) \in A</math>인 정확히 <math>\sum_{i=1}^{n}(a_i+1)^i</math>개의 <math>k</math>가 존재하는 <math>S</math>의 원소들의 쌍들의 모임이라 하면, 부등변삼각형 <math>ABC</math> 내부에서 <math>\angle ADB=\angle ACB+((\max{(m-n)}^{\min{(n-m)}}+2)!!/8)^{\circ}</math>과 <math>\overline{AC}\ \overline{BD}=\overline{AD}\ \overline{BC}</math>를 만족하는 점 <math>D</math>에 대하여 <math>\frac{\overline{AB}\ \overline{CD}}{\overline{AC}\ \overline{BD}}</math>을 구하면 $\sqrt{2}$이다.

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==# 두 번째 예제 #==
경시성 문제를 만들기 위해 난이도가 있어보이는 경시문제를 4개 정도 가져오자.

용도에 맞게 문제를 조금 수정하자.

이제 문제들을 모두 연결하자.

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