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연속함수
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481,2089
== 이해 == 연속이란 직관적으로 '끊어지지 않았다'를 뜻한다. 끊어지지 않았다면 [math(f)]의 그래프 중 어떤 점을 잡아서 그 점을 무한히 [math(a)]에 갖다 대면 그 점은 무한히 [math((a,f(a)))]에 가까워질 것이다. 그러니까 [math(x)]를 [math(a)]에 무한히 가까지 가져가면 [math(f(x))]는 [math(f(a))]에 무한히 가까이 간다는 뜻이다. 이 직관은 다음으로 엄밀화할 수 있다. * 모든 [math(|x-a|<\delta)]를 만족하는 [math(x)]에 대해서 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이 만족된다. 바로 위의 정의에서 만족되어야 한다고 말한 그 명제다. 여기에서 우리는 궁금증이 하나 생기는데 '모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서' 라고 서술되는 게 아닌 '모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]가 있어서'라고 서술되어야 하는지에 대한 것이다. 왜 두번째 형태로 서술되어야 하는지는 첫번째 서술이 연속의 정의라고 하고 [math(f(x)=x^2)]이라는 함수를 예로 들어 알아보자. [math(f(x)=x^2)]은 [math(x)]가 커지면 커질수록 그래프가 가파라지고 결국 거의 [math(y)]축에 평행하는 정도가 되어버린다. 당연히 [math(f(x))]는 실수 전체에서 연속이어야 함을 알 수 있다. 이제 우리는 [math(a)]를 충분히 크게 잡아보자. 그리고 [math(\delta>0)]를 하나 잡고 [math(|x-a|<\delta)]라고 해보자. 그러면 우리는 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x^2-a^2|<\varepsilon)]이 되도록 하고 싶은데 * [math(|x^2-a^2|=|x-a||x+a|)] 이고 [math(a)]를 적당히 크게 하면 [math(\delta)]에 상관없이 적당한 [math(a)]가 있어서 [math(|x^2-a^2|)]은 [math(1)]보다 커질 수 있게 된다. 좀 더 직관적으로, 그리고 그래프를 보면서 생각해보면 [math(a)]부분의 그래프는 너무 가파라서 [math(\delta)]를 잡아도 적당한 [math(\varepsilon)]이 생길 수 없게 된다. 그러므로 [math(f(x)=x^2)]은 다음 명제가 성립하지 않는다. * 모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x-a|<\delta)]이면 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이다. 그러니까 [math(f(x))]는 연속이 아니라는 결과를 얻게 되고 만다. 결국 위와 같은 서술은 '끊어지지 않는 그래프'라는 직관을 가지고 있는 우리가 원하는 정의가 아니다. 그러므로 * 모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]이 있어서<math>\cdots</math> 와 같이 수정한다면 직관적으로 틀렸다고 한 서술의 직관을 포함하면서 '가파라서'라는 이유를 무시할 수 있게 한다. 얼마나 가파르든 [math(y)]값을 기준으로 잡아버리니까 상관없는 것이다.
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== 이해 == 연속이란 직관적으로 '끊어지지 않았다'를 뜻한다. 끊어지지 않았다면 [math(f)]의 그래프 중 어떤 점을 잡아서 그 점을 무한히 [math(a)]에 갖다 대면 그 점은 무한히 [math((a,f(a)))]에 가까워질 것이다. 그러니까 [math(x)]를 [math(a)]에 무한히 가까지 가져가면 [math(f(x))]는 [math(f(a))]에 무한히 가까이 간다는 뜻이다. 이 직관은 다음으로 엄밀화할 수 있다. * 모든 [math(|x-a|<\delta)]를 만족하는 [math(x)]에 대해서 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이 만족된다. 바로 위의 정의에서 만족되어야 한다고 말한 그 명제다. 여기에서 우리는 궁금증이 하나 생기는데 '모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서' 라고 서술되는 게 아닌 '모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]가 있어서'라고 서술되어야 하는지에 대한 것이다. 왜 두번째 형태로 서술되어야 하는지는 첫번째 서술이 연속의 정의라고 하고 [math(f(x)=x^2)]이라는 함수를 예로 들어 알아보자. [math(f(x)=x^2)]은 [math(x)]가 커지면 커질수록 그래프가 가파라지고 결국 거의 [math(y)]축에 평행하는 정도가 되어버린다. 당연히 [math(f(x))]는 실수 전체에서 연속이어야 함을 알 수 있다. 이제 우리는 [math(a)]를 충분히 크게 잡아보자. 그리고 [math(\delta>0)]를 하나 잡고 [math(|x-a|<\delta)]라고 해보자. 그러면 우리는 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x^2-a^2|<\varepsilon)]이 되도록 하고 싶은데 * [math(|x^2-a^2|=|x-a||x+a|)] 이고 [math(a)]를 적당히 크게 하면 [math(\delta)]에 상관없이 적당한 [math(a)]가 있어서 [math(|x^2-a^2|)]은 [math(1)]보다 커질 수 있게 된다. 좀 더 직관적으로, 그리고 그래프를 보면서 생각해보면 [math(a)]부분의 그래프는 너무 가파라서 [math(\delta)]를 잡아도 적당한 [math(\varepsilon)]이 생길 수 없게 된다. 그러므로 [math(f(x)=x^2)]은 다음 명제가 성립하지 않는다. * 모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x-a|<\delta)]이면 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이다. 그러니까 [math(f(x))]는 연속이 아니라는 결과를 얻게 되고 만다. 결국 위와 같은 서술은 '끊어지지 않는 그래프'라는 직관을 가지고 있는 우리가 원하는 정의가 아니다. 그러므로 * 모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]이 있어서<math>\cdots</math> 와 같이 수정한다면 직관적으로 틀렸다고 한 서술의 직관을 포함하면서 '가파라서'라는 이유를 무시할 수 있게 한다. 얼마나 가파르든 [math(y)]값을 기준으로 잡아버리니까 상관없는 것이다.
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