최근 편집
최근 토론
게시판 메인
도구
투표
무작위 문서
스킨 설정
파일 올리기
기타 도구
216.73.216.107
IP
사용자 도구
사용자 설정
로그인
회원 가입
최근 편집
최근 토론
돌아가기
삭제
이동
파일 올리기
연속함수
(편집) (2)
(편집 필터 규칙)
481,2089
== 이해 == 연속이란 직관적으로 '끊어지지 않았다'를 뜻한다. 끊어지지 않았다면 [math(f)]의 그래프 중 어떤 점을 잡아서 그 점을 무한히 [math(a)]에 갖다 대면 그 점은 무한히 [math((a,f(a)))]에 가까워질 것이다. 그러니까 [math(x)]를 [math(a)]에 무한히 가까지 가져가면 [math(f(x))]는 [math(f(a))]에 무한히 가까이 간다는 뜻이다. 이 직관은 다음으로 엄밀화할 수 있다. * 모든 [math(|x-a|<\delta)]를 만족하는 [math(x)]에 대해서 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이 만족된다. 바로 위의 정의에서 만족되어야 한다고 말한 그 명제다. 여기에서 우리는 궁금증이 하나 생기는데 '모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서' 라고 서술되는 게 아닌 '모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]가 있어서'라고 서술되어야 하는지에 대한 것이다. 왜 두번째 형태로 서술되어야 하는지는 첫번째 서술이 연속의 정의라고 하고 [math(f(x)=x^2)]이라는 함수를 예로 들어 알아보자. [math(f(x)=x^2)]은 [math(x)]가 커지면 커질수록 그래프가 가파라지고 결국 거의 [math(y)]축에 평행하는 정도가 되어버린다. 당연히 [math(f(x))]는 실수 전체에서 연속이어야 함을 알 수 있다. 이제 우리는 [math(a)]를 충분히 크게 잡아보자. 그리고 [math(\delta>0)]를 하나 잡고 [math(|x-a|<\delta)]라고 해보자. 그러면 우리는 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x^2-a^2|<\varepsilon)]이 되도록 하고 싶은데 * [math(|x^2-a^2|=|x-a||x+a|)] 이고 [math(a)]를 적당히 크게 하면 [math(\delta)]에 상관없이 적당한 [math(a)]가 있어서 [math(|x^2-a^2|)]은 [math(1)]보다 커질 수 있게 된다. 좀 더 직관적으로, 그리고 그래프를 보면서 생각해보면 [math(a)]부분의 그래프는 너무 가파라서 [math(\delta)]를 잡아도 적당한 [math(\varepsilon)]이 생길 수 없게 된다. 그러므로 [math(f(x)=x^2)]은 다음 명제가 성립하지 않는다. * 모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x-a|<\delta)]이면 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이다. 그러니까 [math(f(x))]는 연속이 아니라는 결과를 얻게 되고 만다. 결국 위와 같은 서술은 '끊어지지 않는 그래프'라는 직관을 가지고 있는 우리가 원하는 정의가 아니다. 그러므로 * 모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]이 있어서<math>\cdots</math> 와 같이 수정한다면 직관적으로 틀렸다고 한 서술의 직관을 포함하면서 '가파라서'라는 이유를 무시할 수 있게 한다. 얼마나 가파르든 [math(y)]값을 기준으로 잡아버리니까 상관없는 것이다.
(임시 저장)
(임시 저장 불러오기)
기본값
모나코 에디터
normal
namumark
namumark_beta
macromark
markdown
custom
raw
(↪️)
(💎)
(🛠️)
(추가)
== 이해 == 연속이란 직관적으로 '끊어지지 않았다'를 뜻한다. 끊어지지 않았다면 [math(f)]의 그래프 중 어떤 점을 잡아서 그 점을 무한히 [math(a)]에 갖다 대면 그 점은 무한히 [math((a,f(a)))]에 가까워질 것이다. 그러니까 [math(x)]를 [math(a)]에 무한히 가까지 가져가면 [math(f(x))]는 [math(f(a))]에 무한히 가까이 간다는 뜻이다. 이 직관은 다음으로 엄밀화할 수 있다. * 모든 [math(|x-a|<\delta)]를 만족하는 [math(x)]에 대해서 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이 만족된다. 바로 위의 정의에서 만족되어야 한다고 말한 그 명제다. 여기에서 우리는 궁금증이 하나 생기는데 '모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서' 라고 서술되는 게 아닌 '모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]가 있어서'라고 서술되어야 하는지에 대한 것이다. 왜 두번째 형태로 서술되어야 하는지는 첫번째 서술이 연속의 정의라고 하고 [math(f(x)=x^2)]이라는 함수를 예로 들어 알아보자. [math(f(x)=x^2)]은 [math(x)]가 커지면 커질수록 그래프가 가파라지고 결국 거의 [math(y)]축에 평행하는 정도가 되어버린다. 당연히 [math(f(x))]는 실수 전체에서 연속이어야 함을 알 수 있다. 이제 우리는 [math(a)]를 충분히 크게 잡아보자. 그리고 [math(\delta>0)]를 하나 잡고 [math(|x-a|<\delta)]라고 해보자. 그러면 우리는 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x^2-a^2|<\varepsilon)]이 되도록 하고 싶은데 * [math(|x^2-a^2|=|x-a||x+a|)] 이고 [math(a)]를 적당히 크게 하면 [math(\delta)]에 상관없이 적당한 [math(a)]가 있어서 [math(|x^2-a^2|)]은 [math(1)]보다 커질 수 있게 된다. 좀 더 직관적으로, 그리고 그래프를 보면서 생각해보면 [math(a)]부분의 그래프는 너무 가파라서 [math(\delta)]를 잡아도 적당한 [math(\varepsilon)]이 생길 수 없게 된다. 그러므로 [math(f(x)=x^2)]은 다음 명제가 성립하지 않는다. * 모든 [math(\delta>0)]에 대해서 적당한 [math(\varepsilon>0)]이 있어서 [math(|x-a|<\delta)]이면 [math(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)]이다. 그러니까 [math(f(x))]는 연속이 아니라는 결과를 얻게 되고 만다. 결국 위와 같은 서술은 '끊어지지 않는 그래프'라는 직관을 가지고 있는 우리가 원하는 정의가 아니다. 그러므로 * 모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 적당한 [math(\delta>0)]이 있어서<math>\cdots</math> 와 같이 수정한다면 직관적으로 틀렸다고 한 서술의 직관을 포함하면서 '가파라서'라는 이유를 무시할 수 있게 한다. 얼마나 가파르든 [math(y)]값을 기준으로 잡아버리니까 상관없는 것이다.
비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.
편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이
CC BY 4.0
에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.
전송
미리보기
