타원곡선 (편집) (2)

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== 타원 곡선을 군으로 만들기 ==
타원 곡선은 사실 그냥 정의되지 않고 사영평면 위에서 정의되는 곡선이다. 왜 사영평면 위에서 정의하냐면 사영평면에서 정의하면 타원 곡선에 적당한 군 구조를 줄 수 있기 때문이다. ([[임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다|임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있긴 하지만]] 이렇게 주면 그다지 의미있는 군이 될 수 없다.)

[math(P,Q\in \Bbb{P}^3_{k})]라는 서로 다른 점을 생각하면 [math(P,Q)]를 잇는 직선과 타원곡선 [math(E(k))]가 만나는 점은 [math(P,Q)]를 빼면 하나로 유일하게 결정되거나 없을 수 있으며 하나로 유일하게 결정되는 점을 [math(R)]이라고 하면 [math( P+Q=-R)]이라고 정의한다. 여기에서 [math(-R)]은 [math(R)]을 [math(x)]축 대칭한 점이라고 생각한다. (그러니까 [math(y)]좌표에 [math(-)]를 붙인다.) [math(-)]를 붙이는 이유는 [math( P+Q+R=0)]을 만들기 위함이고 이것은 기초 타원곡선 이론에서 근과 계수의 관계를 쓸 때 유용하다. 그 점이 없으면 [math( P+Q=(0:0:1))]로 정의한다.

이제 [math(2P=P+P)]는 [math(P)]를 지나는 접선을 생각하고 이 때도 [math(P)] 이외의 [math(E(k))]와 그 접선이 만나는 점은 유일하거나 없을 수 있으며 유일하면 그 점을 [math(R)]이라고 할 때 [math(2P=-R)]이라고 정의하고 없으면 [math( 2P=(0:0:1))]이라고 정의한다. 여기에서 [math(4a^3+27b^2\ne 0)]의 의미가 드러나는데 바로 모든 [math(P)]에 대해서 [math(P)]를 지나는 접선을 만들고 싶어서 그런다. 안 그러면 적당한 [math(P)]에 대해서 그 [math(P)]에서는 접선을 생각할 수 없다.

이렇게 정의하면 [math(E(k))]는 항등원은 [math((0:0:1))]이 되며 [math(P)]의 역원은 [math(-P)]가 되는 아벨군이 된다.

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이렇게 정의하면 [math(E(k))]는 항등원은 [math((0:0:1))]이 되며 [math(P)]의 역원은 [math(-P)]가 되는 아벨군이 된다.

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