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Proper base change theorem
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620,1384
== 설명 == [math(g^{*})]와 [math(g_{*})]는 서로 adjoint functor 관계이므로 [math(\mathscr{F}\to g'_{*}g'^{*}\mathscr{F})]이고 양변에 [math(f_{*})]를 씌우면 [math(f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})] 이라는 natural morphism을 만들 수 있게 된다. 이제 같은 방법으로 [math(g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})] 라는 natural morphism을 쉽게 얻을 수 있다. 이 방법하고 비슷하게 derived category로 [math(g^*(\mathrm{R}f_{*}\mathscr{F}^{\bullet})\to \mathrm{R}f'_{*}(g'^{*}\mathscr{F}^{\bullet}))] 라는 natural morphism을 얻을 수 있게 된다. 여기에서 [math(\mathscr{F}^{\bullet})]은 [math(Y)]의 bounded below인 sheaf들의 complex다. proper base change theorem의 의미는 이 natural morphism을 등호로. 그러니까 isomorphism으로 만들 수 있다는 정리다. 그렇기 때문에 이 정리는 뭔가를 바꿔야만 할 대 아주 자주 쓰이며 étale cohomology의 기본이 되는 정리다.
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== 설명 == [math(g^{*})]와 [math(g_{*})]는 서로 adjoint functor 관계이므로 [math(\mathscr{F}\to g'_{*}g'^{*}\mathscr{F})]이고 양변에 [math(f_{*})]를 씌우면 [math(f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})] 이라는 natural morphism을 만들 수 있게 된다. 이제 같은 방법으로 [math(g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to f'_{*}g'^{*}\mathscr{F})] 라는 natural morphism을 쉽게 얻을 수 있다. 이 방법하고 비슷하게 derived category로 [math(g^*(\mathrm{R}f_{*}\mathscr{F}^{\bullet})\to \mathrm{R}f'_{*}(g'^{*}\mathscr{F}^{\bullet}))] 라는 natural morphism을 얻을 수 있게 된다. 여기에서 [math(\mathscr{F}^{\bullet})]은 [math(Y)]의 bounded below인 sheaf들의 complex다. proper base change theorem의 의미는 이 natural morphism을 등호로. 그러니까 isomorphism으로 만들 수 있다는 정리다. 그렇기 때문에 이 정리는 뭔가를 바꿔야만 할 대 아주 자주 쓰이며 étale cohomology의 기본이 되는 정리다.
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