상대성 이론 (편집) (3)

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== 중력에 대한 상대성 이론의 설명 ==
상대성 이론은 수학적인 관점에서 보자면, 시공간의 기하에 대한 이론이다. 아인슈타인의 처음 생각은 이러한 견해가 아니었지만, 특수 상대성 이론과 중력에 대한 해석이 전자기력과 다르게 이상한 결론을 내놓기에 이를 해결하고자 하는 관점에서 생겨났다.[* 이 문제에 대해서는 웬만한 상대성 이론 교재에서 다 넣어 풀게 한다. 결과가 이상해도 당혹스러워 하지 마라. 그게 정상이다.]

일반 상대성 이론에 따르면, 어떤 시공간 상의 점 [math( \mathrm{P} )]에 대하여 그 점 주위의 국소적 시공간에 대해 계량 텐서 [math( {g}_{\mu \nu}(\mathrm{P}) = {\eta}_{\mu \mu} + {\zeta}_{\mu \nu}(\mathrm{P}) )]를 '''중력 퍼텐셜'''이라고 한다. 따라서 어떤 계의 (국소적) 에너지-운동량 텐서가 [math( {T}^{\mu \nu} )]일 때, 중력 퍼텐셜 에너지 밀도는 [math( u = {g}_{\mu \nu} {T}^{\mu \nu} )]이다. 이것을 전개해서 보면 독특한 점이 있는데, 그것은 평평한 시공간에서 좌표계를 유사직교좌표계를 사용한 경우의 중력 퍼텐셜 에너지 밀도는 그 계가 가지는 전체 에너지 밀도라는 것이다. 이 말은 곧 특수 상대성 이론적인 에너지는 그 자체로 중력 퍼텐셜 에너지라는 것이다.

이러한 시공간에서, 중력장의 역할을 하는 크리스토펠 기호는 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma} = \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {g}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {g}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {g}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) = \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {\eta}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\eta}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {\eta}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) + \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {\zeta}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\zeta}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {\zeta}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) = {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\eta) + {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\zeta) )]이다. 마지막 변에서 첫번째 항 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\eta) )]를 '''관성장(Inertia Field)'''이라고 하고 두번째 항 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\zeta) )]를 '''끌림장(Dragging Field)'''이라고 한다. 따라서 관측자가 측정하는 중력은 관성장과 끌림장이 같이 작용하는 것처럼 보인다. 즉, 관측되는 중력은 (4차원 힘으로 나타냈을 때) [math( {F}^{\sigma} = m {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma} {v}^{\mu} {v}^{\nu} )]이다.[* 좀 깊이 생각하는 사람들은 앞의 식에 대해 의문을 제기할 수 있다. 즉, 왜 크리스토펠 기호에 계 전체의 에너지-운동량 텐서가 아닌 다입자계의 에너지-운동량 텐서 [math( \rho {v}^{\mu} {v}^{\nu} )]를 집어넣느냐 하는 의문이다. 참고로 중력장을 제외한 다른 장의 에너지-운동량 텐서의 변화량은 다입자계에 걸리는 힘으로 된다. 역학에서 힘이란 오직 입자에게만 걸리기 때문에 그렇다.]

참고로 미분기하학에서 크리스토펠 기호를 한 번 더 미분한 것을 곡률 텐서(Curvature Tensor)라고 한다. 일반 상대성 이론에서는 리치 곡률 텐서(Ricci Curvature Tensor)를 쓰는데, 여기서는 그냥 곡률 텐서라고 하겠다. 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다. [math( {R}_{\mu \nu} = \frac{\partial {\Gamma}_{\mu \sigma}^{\sigma}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}}{\partial {x}^{\sigma}} + {\Gamma}_{\mu \rho}^{\sigma} {\Gamma}_{\nu \sigma}^{\rho} - {\Gamma}_{\mu \nu}^{\rho} {\Gamma}_{\rho \sigma}^{\sigma} )]이 텐서는 비앙키 항등식(Bianchi Identity) [math( {\nabla}_{\mu} \left ( {R}_{\mu \nu} - \frac{1}{2} {g}_{\mu \nu} R \right ) = 0 )]을 만족한다. 여기서 [math( R = {g}^{\mu \nu} {R}_{\mu \nu} )]는 곡률 스칼라(Curvature Scalar)이다.

만일 우리가 관성장과 끌림장을 분리해내더라도 어느 것이 관성장이고 어느 것이 끌림장인지 모를 수 있다. 하지만 고전장론에 따르면, 장 텐서의 미분으로 얻은 텐서는 그 장의 원천이 되는 텐서에 정비례한다. 이것을 생각하면 곡률 텐서가 원천 에너지-운동량 텐서에 정비례할 것으로 생각하기 쉽다. 하지만 곡률 텐서는 에너지-운동량 텐서와 달리 공변 미분이 0이 아니다. 따라서 아인슈타인 텐서 [math( {G}_{\mu \nu} = {R}_{\mu \nu} - ({1} / {2}) {g}_{\mu \nu} R )]을 정의하여 쓴다. 중력장에 대한 도함수 텐서는 바로 아인슈타인 텐서이다. 아인슈타인 텐서를 도입하여 장 방정식(Field Equation)을 기술하면, [math( {G}_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{{c}^{4}} {T}_{\mu \nu} )]이다. 이 식을 '''아인슈타인 방정식(Einstein Equation)'''이라고 한다. 관성장의 아인슈타인 텐서는 계산하지 않아도 0임을 알 수 있다. 하지만 끌림장에 대해서는 그렇지 않다. 즉, 끌림장의 원천은 바로 다른 곳에 있는 에너지-운동량 텐서이며, 좀 더 실재적으로 말하자면 에너지와 운동량, 그리고 그것들의 흐름이 바로 끌림장을 만들어내는 것이다.

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