소수 (편집) (3) - 시드위키

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=== 증명 2 ===
'''Definition''' 정수 [math(m,\ r\ (m \geq 1))]에 대하여, [math(r+m \mathbb{Z})]를 [math(\{r+mn|n \in \mathbb{Z} \})]로 정의한다. 이런 집합을 등차수열(AP)라 한다.
정수 [math(m \geq 2)]에 대하여 [math(\text{NM}(m) = (1 + m\mathbb{Z}) \cup (2 + m\mathbb{Z}) \cup \cdots \cup ((m-1) + m\mathbb{Z}))]라 정의한다, [math(\text{NM}(m))]은 [math(m)]으로 나누어 떨어지지 않는 정수의 집합이다.

'''Claim''' 유한한 개수의 AP의 교집합은 공집합이거나 무한집합이다.

'''Proof''' AP들을 [math(r_i+m_i\mathbb{Z}\ (1 \leq i \leq n))]라 하자. [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^n \left( r_i + m_i \mathbb{Z} \right))]가 공집합이면 증명이 끝난다. 공집합이 아니어서 원소 [math(x)]가 존재한다면 [math(x)]와 [math(\text{mod}\ m_1m_2 \cdots m_n)]에 대하여 합동인 모든 정수들이 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^n \left( r_i + m_i \mathbb{Z} \right))]의 원소가 되므로 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^n \left( r_i + m_i \mathbb{Z} \right))]는 무한집합이 된다. 따라서 증명이 끝났다.

'''Theorem''' 소수의 개수는 무한하다.

'''Proof''' 소수의 개수가 유한하여 [math(p_1,\ p_2,\ \cdots ,\ p_k)]가 있다고 가정하자. 그리고 [math(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{k} \text{NM}(p_i))]를 생각해보자. [math(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{k} \text{NM}(p_i))]의 원소는 모든 [math(p_i)]에 대해 나누어 떨어지지 않아야 하므로 [math(\bigcap_{i=1}^{k} \text{NM}(p_i)= \{1,-1\})]이 된다. 하지만 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{k} \text{NM}(p_i) = \bigcap_{i=1}^{k} \left[ (1 + p_i \mathbb{Z}) \cup (2 + p_i \mathbb{Z}) \cup \cdots \cup ((p_i - 1) + p_i \mathbb{Z}) \right])]이고, [math(\bigcup)]과 [math(\bigcap)]은 분배법칙이 성립하므로 [math(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{k} \left[ (1 + p_i \mathbb{Z}) \cup (2 + p_i \mathbb{Z}) \cup \cdots \cup ((p_i - 1) + p_i \mathbb{Z}) \right])]는 유한개의 AP들의 교집합들의 합집합이 된다. 각 유한개의 AP들의 교집합은

'''Claim'''에 의해 공집합 혹은 무한집합이므로, 그 합집합 또한 공집합 혹은 무한집합이 된다. 하지만 [math(\{1.-1\})]은 공집합도 무한집합도 아니므로 모순이 발생한다. 따라서 소수의 개수는 무한하다.

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'''Claim''' 유한한 개수의 AP의 교집합은 공집합이거나 무한집합이다.

'''Theorem''' 소수의 개수는 무한하다.

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