운동량 (편집) (3) - 시드위키

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=== 각운동량(Angular Momentum) ===
고전역학에서 정리된 각운동량은 [math(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p})]이다. 여기서 [math(\vec{L})]은 물체의 각운동량, [math(\vec{r})]은 회전축으로부터의 위치 벡터, [math(\vec{p})]는 물체의 선운동량이다. 만일 단일 입자라면 [math(\vec{L} = m {\vec{r}}^{2} \vec{\omega})]라고 나타낼 수 있다. 여기서 [math(\vec{\omega})]는 각속도 벡터로, 회전하는 물체가 이루는 평면에 수직이며, 그 방향은 오른손 법칙을 따른다.

선운동량과 마찬가지로 다입자계인 경우 [math({\vec{L}}_{\text{sys}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{L}}_{i})]라고 정의하며, 역시 연속체의 경우엔 [math(\vec{L} = \int_{V} \vec{\ell} \, d V)]로 정의한다. 여기서 [math({\vec{L}}_{\text{sys}})]는 계의 총 각운동량을 나타내며, [math({\vec{L}}_{i})]는 [math(i)]번째 입자의 각운동량을 나타낸다. 또한 [math(\vec{\ell} = \vec{\ell}(\vec{x}))]는 위치 [math(\vec{x})]에서의 각운동량 밀도를 의미한다. 여기서 각운동량은 다시 궤도각운동량과 스핀각운동량으로 나눌 수 있다. 궤도각운동량은 궤도축에 대한 질량중심의 각운동량이고, 스핀각운동량은 스핀축을 중심으로 회전하는 다입자계나 연속체 자체의 각운동량이다.

따라서 이것을 통해 기술하면 다입자계의 경우 [math({\vec{L}}_{\text{sys}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{L}}_{i} = {\vec{L}}_{\text{sys,or}} + {\vec{L}}_{\text{sys,sp}} = \vec{r} \times {\vec{p}}_{\text{sys}} + \sum_{i = 1}^{n} {\vec{r}}'_{i} \times {\vec{p}}'_{i} = m {\vec{r}}^{2} {\vec{\omega}}_{\text{or}} + \boldsymbol{I} \cdot {\vec{\omega}}_{\text{sp}})]로 나타내며, 연속체의 경우엔 [math(\vec{L} = \int_{V} \vec{\ell} \, d V = {\vec{L}}_{\text{or}} + {\vec{L}}_{\text{sp}} = \vec{r} \times \vec{p} + \int_{V} \vec{r}' \times \vec{\wp}' \, d V = m {\vec{r}}^{2} {\vec{\omega}}_{\text{or}} + \boldsymbol{I} \cdot {\vec{\omega}}_{\text{sp}})]로 나타낸다. 여기서 [math({\vec{L}}_{\text{sys,or}})]와 [math({\vec{L}}_{\text{sys,sp}})]는 각각 다입자계의 궤도각운동량과 스핀각운동량을 나타내고, [math(\vec{r} = (\sum {m}_{i} {\vec{r}}_{i}) / m)]은 궤도축에 대한 질량중심의 위치를 의미한다. 또한 [math({\vec{r}}'_{i})]는 스핀축에 대한 [math(i)]번째 입자의 위치를 나타내고, [math({\vec{p}}'_{i} = {m}_{i} {\vec{v}}'_{i})]는 질량중심에 대한 [math(i)]번째 입자의 선운동량이다.[* 왜냐하면 [math({\vec{v}}'_{i})]가 질량중심에 대한 [math(i)]번째 입자의 속도이기 때문이다.]

또한 [math(m = \sum {m}_{i})]는 계의 총 질량을 나타내며, [math(\boldsymbol{I})]는 계의 관성모멘트 텐서(inertia tensor)를 나타내고 그 정의는 [math({I}_{j}^{i} = \sum_{k = 1}^{n} ({{\vec{r}}'_{k}}^{2} {\delta}_{j}^{i} - {{r}'_{k}}^{i} {{r}'_{k}}_{j}) {m}_{k})]이다. 그리고 [math({\vec{L}}_{\text{or}})]과 [math({\vec{L}}_{\text{sp}})]는 각각 연속체의 궤도각운동량과 스핀각운동량이며, [math(\vec{r} = (\int_{V} \rho \vec{x} \, d V) / m)]은 궤도축에 대한 질량중심의 위치를 의미한다. 여기서 [math(\rho = \rho(\vec{x}))]는 질량의 체밀도이고, 연속체 전체의 질량은 [math(m = \int_{V} \rho \, d V)]이다. 또한 [math(\vec{r}' = \vec{r}'(\vec{x}))]는 스핀축에 대한 위치 [math(\vec{x})]의 위치이고, [math(\vec{\wp}' = \vec{\wp}'(\vec{x}))]는 스핀축에 대한 선운동량 밀도이다. 이것들은 다입자계와 비슷하게 이해할 수 있다.

또한 관성모멘트 텐서 [math(\boldsymbol{I})]도 [math({I}_{j}^{i} = \int_{V} ({\vec{r}'}^{2} {\delta}_{j}^{i} - {r}'^{i} {r}'_{j}) \rho \, d V)]으로 정의된다. 각운동량의 변화율인 토크(torque)는 [math(\vec{\tau} = \frac{d \vec{L}}{d t})]로 정의된다. 다입자계와 연속체의 경우도 힘과 비슷한 방식으로 정의되는데, 이때 각 부분 각운동량에 대한 변화율 중 내토크(inner torque)는 합하면서 상쇄된다. 또한 장 역시 각운동량을 가질 수 있다. 예를 들어, 전자기장은 [math(\vec{L} = {\mu}_{0} {\varepsilon}_{0} \int_{V} \vec{r} \times \vec{S} \, d V)]의 각운동량을 가진다. 하지만 이에 대한 변화율 역시 작용점을 지정하기 매우 곤란하기 때문에 토크로 정의하지 않는다.

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