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1880,2711
=== 점화식 === 사람 [math(1,2,\dots,n)]이 [math(1,2,\dots,n)]으로 지정된 비행기 좌석에 앉는 상황을 가정하자. 이때 누구도 자신에게 할당된 수와 같지 않은 자리에 앉는 경우의 수를 구하고자 한다. 누구도 자신에게 할당된 수와 같지 않은 자리에 앉는 경우의 집합을 [math(D_n)]이라 하면, [math(|D_n|)]을 구하면 된다. 사람 [math(1)]이 좌석 [math(k)]에 앉는다고 하자. 그러면 사람 [math(1)]은 좌석 [math(1)]에 앉지 않으므로, 사람 [math(1)]이 좌석에 앉는 경우의 수는 [math(n-1)]이다. 그러면 다음 두 가지의 가능성이 존재한다. 1. 사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]에 앉지 않는다고 하자. 그러면 이 경우는 금지된 선택이 단 하나(사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]을 고르지 않는다)이므로, [math(n-1)]명이 [math(n-1)]개의 좌석에 앉는 문제와 동일하다. 2. 사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]에 앉는다고 하자. 그러면 나머지 [math(n-2)]명은 [math(n-2)]개 좌석에 앉는다. 따라서 다음 식이 성립한다. [math(|D_n|=(n-1)(|D_{n-1}|+|D_{n-2}|))] 한편, [math(|D_n|=(n-1)(|D_{n-1}|+|D_{n-2}|))]의 양변에 [math(-n|D_{n-1}|)]을 더하면 [math(|D_n|-n|D_{n-1}|=-(|D_{n-1}|-(n-1)|D_{n-2}|))]이다. 따라서 다음 식이 성립한다. [math(|D_n|=n|D_{n-1}|+(-1)^n)]
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=== 점화식 === 사람 [math(1,2,\dots,n)]이 [math(1,2,\dots,n)]으로 지정된 비행기 좌석에 앉는 상황을 가정하자. 이때 누구도 자신에게 할당된 수와 같지 않은 자리에 앉는 경우의 수를 구하고자 한다. 누구도 자신에게 할당된 수와 같지 않은 자리에 앉는 경우의 집합을 [math(D_n)]이라 하면, [math(|D_n|)]을 구하면 된다. 사람 [math(1)]이 좌석 [math(k)]에 앉는다고 하자. 그러면 사람 [math(1)]은 좌석 [math(1)]에 앉지 않으므로, 사람 [math(1)]이 좌석에 앉는 경우의 수는 [math(n-1)]이다. 그러면 다음 두 가지의 가능성이 존재한다. 1. 사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]에 앉지 않는다고 하자. 그러면 이 경우는 금지된 선택이 단 하나(사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]을 고르지 않는다)이므로, [math(n-1)]명이 [math(n-1)]개의 좌석에 앉는 문제와 동일하다. 2. 사람 [math(k)]가 좌석 [math(1)]에 앉는다고 하자. 그러면 나머지 [math(n-2)]명은 [math(n-2)]개 좌석에 앉는다. 따라서 다음 식이 성립한다. [math(|D_n|=(n-1)(|D_{n-1}|+|D_{n-2}|))] 한편, [math(|D_n|=(n-1)(|D_{n-1}|+|D_{n-2}|))]의 양변에 [math(-n|D_{n-1}|)]을 더하면 [math(|D_n|-n|D_{n-1}|=-(|D_{n-1}|-(n-1)|D_{n-2}|))]이다. 따라서 다음 식이 성립한다. [math(|D_n|=n|D_{n-1}|+(-1)^n)]
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