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소수
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=== 증명 3 === [math(\mathbb{P})]가 모든 소수의 집합이라고 하자. [math(\mathbb{P})]가 유한집합이라고 가정하면 [math(|\mathbb{P}|=n)]이라 할 때 [math(\mathbb{P}=\{p_1, p_2, \cdots, p_n\})]이라고 쓸 수 있다. [math(N=p_1 p_2 \cdots p_n + 1)]이라고 하면 [math(N\not\equiv 0 \ (\text{mod} \ p_i)\ (i\in \mathbb{N}, 1\leq i \leq n))]이다. 따라서 [math(N)]은 어느 소수로도 나누어지지 않으므로, [math(N)]이 소수이거나 또는 [math(N)]을 나누는 [math(\mathbb{P})]에 속하지 않는 소수가 존재하므로 [math(\mathbb{P})]가 모든 소수의 집합이라는 데 모순이다. 따라서 [math(\mathbb{P})]는 무한집합이다.
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=== 증명 3 === [math(\mathbb{P})]가 모든 소수의 집합이라고 하자. [math(\mathbb{P})]가 유한집합이라고 가정하면 [math(|\mathbb{P}|=n)]이라 할 때 [math(\mathbb{P}=\{p_1, p_2, \cdots, p_n\})]이라고 쓸 수 있다. [math(N=p_1 p_2 \cdots p_n + 1)]이라고 하면 [math(N\not\equiv 0 \ (\text{mod} \ p_i)\ (i\in \mathbb{N}, 1\leq i \leq n))]이다. 따라서 [math(N)]은 어느 소수로도 나누어지지 않으므로, [math(N)]이 소수이거나 또는 [math(N)]을 나누는 [math(\mathbb{P})]에 속하지 않는 소수가 존재하므로 [math(\mathbb{P})]가 모든 소수의 집합이라는 데 모순이다. 따라서 [math(\mathbb{P})]는 무한집합이다.
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