수열의 극한 (편집) (4)

(편집 필터 규칙)

==== 증명 ====
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_2\ \Rightarrow\ |(a_n+b_n)-(a-b)| \leq |a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \{a_n+b_n\} \to a+b)]
* [math(\displaystyle \text{if}\ c=0,\ \text{trivial}.\ \text{if}\ c \neq 0,\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |ca_n-ca|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{ca_n\} \to ca\\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |(c+a_n)-(c+a)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{c+a_n\} \to c+a)]
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_2 \Rightarrow |(a_n-a)(b_n-b)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty} a_nb_n=\lim_{n \to \infty} ((a_n-a)(b_n-b)+a(b_n-b)+b(a_n-a)+ab)=ab\\\displaystyle \therefore \{a_nb_n\} \to ab)]
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{1}{2}|a|^2\epsilon<\frac{1}{2}|a|^2\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |a_n|>\frac{1}{2}|a|\ \Rightarrow |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a_n-a}{a_na}|<\frac{2}{a^2}|a-a_n|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle  \therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a})]

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