운동량 (편집) (4) - 시드위키

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=== 일반화운동량(Generalized Momentum) 또는 정준운동량(Canonical Momentum) ===
일반화운동량이나 정준운동량은 실제로 같은 물리량을 가리키지만, 그 내용이나 그것이 쓰이는 역학체계가 다르기 때문에 구분된다. 일반화운동량은 라그랑주역학에서 쓰이는 운동량으로, [math({p}_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}})]로 정의된다. 즉, 어떤 역학계에 대하여 그 계의 라그랑지안을 구했을 때 일반화속도에 대한 라그랑지안의 편도함수가 바로 일반화운동량이다. 만일 자기 퍼텐셜 에너지와 같이 속도에 의존하는 퍼텐셜 에너지 항이 있는 경우 장도 일반화운동량을 가지게 된다.

예를 들어, 전자기 퍼텐셜 에너지는 [math({E}_{\text{p}} = q \phi - \vec{I} \cdot \vec{A})]로 나타내는데, 여기서 [math(q)]는 전하, [math(\phi)]는 전기 퍼텐셜, [math(\vec{I} = q \vec{v})]는 전류, [math(\vec{A})]는 자기 퍼텐셜을 나타낸다. 이때, 자기 퍼텐셜 에너지 부분이 속도에 의존하기 때문에 전자기장이 가지는 일반화운동량 [math({p}_{i} = q {A}_{i})]가 생긴다. 정준운동량은 해밀턴역학에서 쓰이는 것으로, 정의는 같다. 하지만 해밀턴역학에서는 정준운동량도 운동을 기술하는 하나의 좌표로 인식하며, 해밀턴의 정준 운동 방정식 [math(\frac{d {q}^{i}}{d t} = + \frac{\partial H}{\partial {p}_{i}} \, , \; \frac{d {p}_{i}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial {q}^{i}} + {\mathcal{F}}_{i})]에서 기술하는 것처럼, 운동을 기술할 수 있다.

정준운동량은 고전역학에서는 그렇게 크게 쓸모가 있는 물리량은 아니지만, 통계역학이나 양자역학에서 많이 쓰이는 물리량이다. 왜냐하면 통계역학에서는 한 위상(phase) [math(({q}^{i}, {p}_{i}))]에서의 상태밀도가 언제나 일정하기 때문이며, 양자역학에서는 정준운동량으로 확장함으로써 전자기장과의 상호작용도 기술할 수 있기 때문이다.

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