이차 상호 법칙 (편집) (5)

==== 증명 ====
[[가우스의 보조정리]]에 의해 다음을 증명하는 것으로 충분하다.

>[math(\{ak\ \text{mod}\ p\ |\ k=1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]의 원소 중 [math(\frac{p}{2})]보다 큰 것의 개수를 [math(s)], [math(\{ak\ \text{mod}\ q\ |\ k=1,2,\cdots,\frac{q-1}{2}\})]의 원소 중 [math(\frac{q}{2})]보다 큰 것의 개수를 [math(t)]이라 하면, [math(s \equiv t\ (\text{mod}\ 2))]이다.

우선 [math(s)]가 얼마인지 구해보자. [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여 [math(n\ \text{mod}\ p > \frac{p}{2})]이려면 다음을 만족해야 한다.

[math(n \in \bigcup_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2i-1}{2}p,ip\right))]

여기서 [math(n=ak<\frac{ap}{2})]이므로 [math(ak \in \bigcup_{i=1}^{[\frac{a}{2}]} \left(\frac{2i-1}{2}p,ip\right))]가 된다. 즉 [math(k \in \bigcup_{i=1}^{[\frac{a}{2}]} \left(\frac{(2i-1)p}{2a},\frac{ip}{a}\right))]를 얻는다. 이 때 [math(s)]는 [math(\bigcup_{i=1}^{[\frac{a}{2}]} \left(\frac{(2i-1)p}{2a},\frac{ip}{a}\right))]에 포함된 정수의 개수이다.

같은 방법으로 [math(t)]는 [math(\bigcup_{i=1}^{[\frac{a}{2}]} \left(\frac{(2i-1)q}{2a},\frac{iq}{a}\right))]에 포함된 정수의 개수이다. 이제 [math(s)]와 [math(t)]의 기우성이 같음을 보이자. 이를 위해 [math(\forall i \in [1,[\frac{a}{2}]])]에 대해 [math(\left(\frac{(2i-1)p}{2a},\frac{ip}{a}\right))]와 [math(\left(\frac{(2i-1)q}{2a},\frac{iq}{a}\right))]에 포함된 정수의 개수의 기우성이 같음을 보일 것이다.

[math(q \equiv p\ (\text{mod}\ 4a))]인 경우를 보자. 그러면 [math(q=p+4am)]인 [math(m \in \Bbb{Z})]가 존재한다. [math(\left(\frac{(2i-1)q}{2a},\frac{iq}{a}\right) = \left(2(2i-1)m+\frac{(2i-1)p}{2a},4im+\frac{ip}{a}\right))]이므로 기우성이 같음을 확인할 수 있다.

[math(q \equiv -p\ (\text{mod}\ 4a))]인 경우에는 [math(q=-p+4am)]인 [math(m \in \Bbb{Z})]가 존재하고, [math(\left(\frac{(2i-1)q}{2a},\frac{iq}{a}\right) = \left(2(2i-1)m-\frac{(2i-1)p}{2a},4im-\frac{ip}{a}\right))]가 성립한다.
[math(\left|\left(2(2i-1)m-\frac{(2i-1)p}{2a},4im-\frac{ip}{a}\right) \cap \Bbb{Z}\right| \equiv \left|\left(-2m-\frac{(2i-1)p}{2a},-\frac{ip}{a}\right) \cap \Bbb{Z}\right| \equiv \left|\left(\frac{ip}{a},2m+\frac{(2i-1)p}{2a}\right) \cap \Bbb{Z}\right|\ (\text{mod}\ 2))]이고
[math(\left|\left(\frac{(2i-1)p}{2a},\frac{ip}{a}\right) \cap \Bbb{Z}\right|+\left|\left(\frac{ip}{a},2m+\frac{(2i-1)p}{2a}\right) \cap \Bbb{Z}\right|=\left|\left(\frac{(2i-1)p}{2a},2m+\frac{(2i-1)p}{2a}\right) \cap \Bbb{Z} \right| \equiv 0\ (\text{mod}\ 2))]이므로 기우성이 같음을 확인할 수 있다.

따라서 보조정리가 증명되었다.

이제 본 명제를 증명하자. 본 명제는 다음과 동치이다.

* [math(p \equiv 1\ (\text{mod}\ 4))]이거나 [math(q \equiv 1\ (\text{mod}\ 4))]이면 [math((p|q)(q|p)=1)], [math(p \equiv q \equiv -1\ (\text{mod}\ 4))]이면 [math((p|q)(q|p)=-1)]이다.

[math(p \equiv q\ (\text{mod}\ 4))]일 경우, [math(q=p+4m)]인 [math(m \in \Bbb{Z},\ (m,p)=(m,q)=1)]가 존재한다. 그러면 [math((q|p)=(4m|p)=(m|p),\ (p|q)=(-4m|q)=(-1|q)(m|q)=(-1|q)(m|p))]이므로 [math((p|q)(q|p)=(-1|q))]이고, 이는 [math(p \equiv 1\ (\text{mod}\ 4))]일 때 [math(1)], [math(p \equiv -1\ (\text{mod}\ 4))]일 때 [math(-1)]이다.

[math(p \not\equiv q\ (\text{mod}\ 4))]일 경우, [math(q=-p+4m)]인 [math(m \in \Bbb{Z},\ (m,p)=(m,q)=1)]가 존재한다. 그러면 [math((q|p)=(4m|p)=(m|p),\ (p|q)=(4m|q)=(m|q)=(m|p))]이므로 [math((p|q)(q|p)=1)]이다.

따라서 본 명제가 증명되었다.

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