다항합동식 (편집) (7)

===== 증명 =====
[math((\Leftarrow))] [math(x^p-x=f(x)q(x)+r(x))]인 [math(q(x))], [math(r(x))]의 양변에 [math(\bmod p)]를 취하면

[math(f(x)q(x) \equiv 0\ \pmod{p})]

즉 [math(f(x)q(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해집합은 [math(\bmod p)]에 대한 완전잉여계이다.

그런데 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는 [math(\deg\ f)]개 이하, [math(q(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는 [math(\deg\ q)]개 이하이므로 [math(f(x)q(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는 [math(\leq \deg\ f + \deg\ q = p)]가 된다. 등호가 성립해야 하므로 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는[math(\deg\ f)], [math(q(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는 [math(\deg\ q)]개 이다.

따라서 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수는 정확히 [math(\deg\ f)]개이다.

[math((\Rightarrow))] [math(\deg\ f=0)]이거나 [math(r(x)=0)]인 경우는 자명하므로 그 이외의 경우만 고려하면 된다.

[math(x^p-x=f(x)q(x)+r(x))]에서 [math(r(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해집합은 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해집합을 포함한다.

즉 [math(r(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해는 [math(\deg\ f)]개 이상이다.

그런데 [math(\deg\ r < \deg\ f)]이므로 [math(r(x))]의 모든 항의 계수가 [math(p)]의 배수이어야 한다.

따라서 항상 [math(r(x))]의 모든 항의 계수가 [math(p)]의 배수이다.

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