이차 상호 법칙 (편집) (8)

(편집 필터 규칙)

==== 증명 ====
가우스의 보조정리를 증명할 때 썼던 정의들을 가져오자. 즉 [math(\{n_i=ni\ \text{mod}\ p\ |\ i=1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]에서 [math(\frac{p}{2})]보다 작은 원소를 모은 집합을 [math(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\})], 큰 원소를 모든 집합을 [math(B=\{b_1,b_2,\cdots,b_m\})]라 하고, [math(C=\{c_1,c_2,\cdots,c_m\},\ c_i=p-b_i)]를 생각하자.
[math(\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} n_i=\sum_{i=1}^{k} a_i+\sum_{i=1}^{m} b_i)]
[math(A \cup C=\{1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]이므로
[math(\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} i &= \sum_{i=1}^{k} a_i+\sum_{i=1}^{m} c_i \\
&= \sum_{i=1}^{k} a_i+pm-\sum_{i=1}^{m} b_i
\end{aligned})]
두 식을 더하면
[math(\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} n_i+\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} i=2\sum_{i=1}^{k} a_i+pm)]
[math(n_i=ni-p\left[\frac{ni}{p}\right])]이므로
[math(\begin{aligned}m \equiv mp &\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} n_i+\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} i \\&\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} (ni-p\left[\frac{ni}{p}\right])+\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} i \\&\equiv -p\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{ni}{p}\right]+(n+1)\frac{p^2-1}{8}\\&\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{ni}{p}\right]+(n+1)\frac{p^2-1}{8}\ (\text{mod}\ 2)
\end{aligned})]
[math(\therefore m \equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{ni}{p}\right] + (n-1)\frac{p^2-1}{8}\ (\text{mod}\ 2))]

이제 본 명제를 증명하자. 보조정리에 의해
[math((p|q)=(-1)^s,\ s \equiv \sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}} \left[\frac{pi}{q}\right] + (p-1)\frac{q^2-1}{8} \equiv \sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}} \left[\frac{pi}{q}\right]\ (\text{mod}\ 2))]와
[math((q|p)=(-1)^t,\ t \equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{qi}{p}\right] + (q-1)\frac{p^2-1}{8} \equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{qi}{p}\right]\ (\text{mod}\ 2))]를 얻는다.

집합 [math(K=\{xp-yq \mid x \in \left[1,\frac{q-1}{2}\right] \cap \Bbb{Z},\ y \in \left[1,\frac{p-1}{2}\right] \cap \Bbb{Z}\})]를 생각하자. [math(K \subset \Bbb{Z} \setminus \{0\},\ |K|=\frac{(p-1)(q-1)}{4},\ |K \cap \Bbb{Z}^{+}|=\sum_{x=1}^{\frac{q-1}{2}} \left[\frac{xp}{q}\right],\ |K \cap \Bbb{Z}^{-}|=\sum_{y=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{yq}{p}\right])]이므로
[math(\frac{(p-1)(q-1)}{4}=\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}} \left[\frac{pi}{q}\right]+ \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[\frac{qi}{p}\right] \equiv s+t\ (\text{mod}\ 2))]
[math(\therefore (p|q)(q|p)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}})]

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