다항합동식 (편집) (9)

==== 증명 ====
우선 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^{k+1}})]의 해에 대해 생각해보자([math(k \in \Bbb{N})]).

[math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^{k+1}})]의 한 해를 [math(s_{k+1})]라 한다면 [math(f(s_{k+1}) \equiv 0\ \pmod{p^k})] 또한 성립하므로 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^k})]의 어떤 해 [math(s_k)]가 존재하여 [math(s_{k+1} \equiv s_k\ \pmod{p^k})]가 성립한다. 그러므로 [math(s_{k+1}=s_k+p^kt\ (0 \leq t \leq p-1))]라고 할 수 있다. 즉 여기서 [math(t)]를 결정해 주면 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^k}))]의 해에서 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^{k+1}})]의 해를 이끌어낸 것이 된다.

[math(f(s_{k+1}) \equiv 0\ \pmod{p^k})]에서 [math(s_{k+1})]에 [math(s_k+p^kt)]를 대입하면 [math(f(s_k+p^kt) \equiv 0\ \pmod{p^k})]가 되는데, 테일러 전개 [math(f(s_k+p^kt)=f(s_k)+p^ktf^\prime (s_k)+\frac{(p^kt)^2}{2!}f^{\prime \prime} (s_k)+\cdots)]를 이용하면 다음을 얻는다.

[math(f(s_{k+1}) \equiv f(s_k)+p^ktf^\prime (s_k)\ \pmod{p}^{k+1}))]
[math(f^\prime (s_k)t \equiv -\frac{f(s_k)}{p^k}\ \pmod{p})]

여기서 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다.

[math(\text{(i)}\ p \nmid f^\prime (s_k))] : [math(t \equiv -f(s_k)f^\prime (s_k)^*/p^k\ \pmod{p})]로 [math(t)]가 유일하게 결정된다.
[math(\text{(ii)}\ p \mid f^\prime (s_k)\ , p^{k+1} \mid f(s_k))] : [math(\forall t \in \{0,1,\cdots,p-1\})]가 조건을 만족시킨다.
[math(\text{(iii)}\ p \mid f^\prime (s_k)\ , p^{k+1} \nmid f(s_k))] : 조건을 만족시키는 [math(t)]가 존재하지 않는다.

따라서 증명되었다.

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==== 증명 ====
우선 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p^{k+1}})]의 해에 대해 생각해보자([math(k \in \Bbb{N})]).

[math(f(s_{k+1}) \equiv f(s_k)+p^ktf^\prime (s_k)\ \pmod{p}^{k+1}))]
[math(f^\prime (s_k)t \equiv -\frac{f(s_k)}{p^k}\ \pmod{p})]

여기서 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다.

따라서 증명되었다.

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