곱셈적 함수 (원본) (1)

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수론에서 '''곱셈적 함수'''(Multiplicative function) 혹은 '''적법적 함수'''는 서로소인 자연수 [math(m,n)]에 대하여 [math(f(mn)=f(m)f(n))]이며 0과 동치가 아닌[* 0과 동치일 경우 조건이 자명하게 성립하기 때문에 제외하는 것이다. 책에 따라 굳이 제외하지 않는 경우도 있다.] 수론적 함수 [math(f)]를 말한다.

== 정의 ==
[math(f \not\equiv 0)]인 수론적 함수 [math(f)]에 대하여 [math(m,n \in \Bbb N,\ (m,n)=1)]일 때 [math(f(mn)=f(m)f(n))]이 성립하면 [math(f)]를 곱셈적이라고 한다.

=== 완전 곱셈적 ===
임의의 자연수 [math(m,n)]에 대하여 [math(f(mn)=f(m)f(n))]이 성립할 경우 [math(f)]를 '''완전 곱셈적'''(completely multiplicative, totally multiplicative) 혹은 '''완전 적법적'''이라고 한다.

== 성질 ==
* [math(f)]가 곱셈적이면 [math(f^{-1})]도 곱셈적이다.
* [math(f,g)]가 곱셈적이면 [math(fg,f/g)]도 곱셈적이다.
* [math(f,g)]가 곱셈적이면 [math(f*g)]도 곱셈적이다.
* [math(f(1)=1)]
* [math(f(1)=1)]일 때,
  * [math(f)]가 곱셈적임은 임의의 소수 [math(p_i)]와 자연수 [math(a_i)]에 대하여 [math(f(p_1^{a_1} \cdots p_n^{a_n})=f(p_1^{a_1}) \cdots f(p_n^{a_n}))]이 성립하는 것과 동치이다.
  * [math(f)]가 곱셈적일 경우, [math(f)]가 완전 곱셈적임은 임의의 소수 [math(p)]와 자연수 [math(a)]에 대하여 [math(f(p^a)=f(p)^a)]가 성립하는 것과 동치이다.
* [math(f)]가 곱셈적일 때, [math(f)]가 완전 곱셈적임은 [math(f^{-1}=\mu f)]와 동치이다.
* [math(f)]가 곱셈적이면 [math(F(n)=\sum_{d \mid n}f(d))]도 곱셈적이다.

== 예시 ==
=== 곱셈적 함수의 목록 ===
* 오일러 파이 함수 [math(\phi(n))]
* 뫼비우스 뮤 함수 [math(\mu(n))]
* 약수 함수
  * 약수 개수 함수 [math(\tau(n))]
  * 약수 합 함수 [math(\sigma(n))]
  * 그 외 잔뜩

=== 완전 곱셈적 함수의 목록 ===
* 항등원 함수 [math(I(n)=[\frac{1}{n}])]
* 리우빌 함수 [math(\lambda(n))]

== 영상 ==
[youtube(iEN0e19ElO8)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]