군의 작용 (원본) (1)

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315154254/http://mathwiki.net/%EA%B5%B0%EC%9D%98_%EC%9E%91%EC%9A%A9|링크]])]
군의 작용(Group Action)은 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

== 정의 ==
[math(f:G×X→X)]에서 [math(f(g,x))]를 [math(gx)]라고 쓰기로 하자. 이때 다음을 만족하면 f를 G의 X에 대한 좌작용(Left action)이라고 한다.

　1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 [math(ex=x)]
　2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 [math((g_1g_2)x=g_1(g_2x))]

마찬가지로 [math(f:X×G→X)]에서 [math(f(x,g))]를 [math(xg)]라고 쓰기로 하자. 이때 다음을 만족하면 f를 G의 X에 대한 우작용(Right action)이라고 한다.

　1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 [math(xe=x)]
　2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 [math(x(g_1g_2)=(xg_1)g_2)]

r이 G의 X에 대한 우작용이라고 하고, [math(l:G×X→X)]를 다음과 같이 정의하자.

 [math(l(g,x)=r(x,g−1))]

이때, l은 G의 X에 대한 좌작용임을 확일할 수 있다. 또한 비슷한 방법으로 우작용을 좌작용으로 바꿀 수도 있다. 따라서 일반적으로 작용이라 함은 좌작용을 말한다.

== 종류 ==
G가 X에 좌작용한다고 하자.

=== 추이적 작용 ===
X의 서로 다른 임의의 원소 [math(x_1, x_2, ..., xn)]과, [math(y_1, y_2, ..., yn)]에 대해 적당한 G의 원소 g가 존재하여 [math(gx_k=y_k)]일 때(k는 1이상 n이하의 자연수) G는 X에 n-추이적으로 작용한다고 한다. 또한 g가 유일하게 존재하면 n-추이적으로 작용한다고 한다. 1-추이적으로 작용하는 경우 단순히 추이적으로 작용한다고 하고, 1-정추이적으로 작용하는 경우 정칙 작용이라고 한다.

=== 충실한 작용과 자유 작용 ===
G의 서로 다른 두 원소 [math(g_1, g_2)]에 대해서 적당한 [math(x∈X)]가 존재해서 [math(g_1x≠g_2x)]인 경우 이 작용은 충실하다고 하고, 서로 다른 두 원소 [math(g_1, g_2)]와 모든 [math(x∈X)]에 대해서 [math(g_1x≠g_2x)]인 경우 이 작용을 자유 작용이라고 한다.

== 궤도와 안정자군 ==
G가 X에 좌작용한다고 하자.

=== 궤도 ===
X의 원소 x의 궤도는 다음과 같이 정의된다.

 [math(G_x={gx:g∈G})]

즉, x의 궤도는 x에 적당한 G의 원소가 작용했을 때, 나올 수 있는 X의 원소를 말한다. [math(x y)]를 [math(gx=y)]인 G의 원소 g가 존재한다고 정의하면, ~는 동치관계임을 쉽게 보일 수 있으며, X는 여러 궤도들로 분할됨을 알 수 있다.

=== 안정자군 ===
X의 원소 x의 안정자군은 다음과 같이 정의된다.

 [math(G_x={g:gx=x})]

x의 안정자군은 G의 원소 중에서 x를 고정하는 원소를 모은 집합을 말하며, 이 집합은 군이 된다.

=== 궤도-안정자군 정리 ===
G와 X가 모두 유한하다면 X의 임의의 원소 x에 대해서  [math(G_x)]는  [math(G)]의 부분군이다.  [math(G_x)]의 좌잉여류에서 궤도로 가는 전단사 함수가 존재하므로 라그랑주 정리에 의해  [math(|G|=|G_x|⋅|G:G_x|=|G_x|⋅|G_x|)]가 된다.  [math(|G_x|=|G|/|G_x|)]가 성립한다는 것을 궤도-안정자군 정리라고 한다.