로피탈의 정리 (원본) (1)

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L'Hôpital's rule,  L'Hospital's rule

미적분학에서 함수의 극한을 구할 때 사용되는 정리 중 하나이다. 

== 진술 ==
실함수 [math(f,g)]가 [math((a,b)\ (-\infty \leq a < b \leq +\infty))]에서 미분 가능하고 [math(\forall x \in (a,b)\ g'(x) \neq 0)]이며 [math(\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A)]라 하자.

[math(\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0)]이거나 [math(\lim_{x \to a}g(x)=+\infty)]이면 [math(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A)]이다.

== 증명 ==
우선 [math(-\infty<A \leq +\infty)]인 경우를 보자. 그러면 [math(A<r<q)]인 [math(q,r \in \Bbb{R})]을 잡을 수 있다.

[math(\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A)]이므로 [math(a<x<c)]이면 [math(\frac{f'(x)}{g'(x)}<r)]인 [math(c)]가 존재한다.

이제 [math(a<x<y<c)]인 [math(x,y)]를 잡으면 코시의 평균값 정리에 의해 [math(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(t)}{g'(t)})]인 [math(t \in (x,y))]가 존재한다. 따라서 [math(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r)]이다.

[math(\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0)]인 경우, [math(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)})]에서 [math(x \to a)]이면 [math(\frac{f(y)}{g(y)} \leq r<q)]를 얻는다. 즉 [math(x \in (a,c))]이면 [math(\frac{f(x)}{g(x)}<q)]이다.

[math(\lim_{x \to a}g(x)=+\infty)]인 경우, 고정된 [math(y)]에 대하여 [math(a<x<c_1)]이면 [math(g(x)>g(y),\ g(x)>0)]이 성립하는 [math(c_1 \in (a,y))]를 잡을 수 있다.

[math(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r)]에서 [math(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)}<r\frac{g(x)-g(y)}{g(x)})]이고 [math(\frac{f(x)}{g(x)}<r-r\frac{g(y)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)})]이므로 [math(a)]에 충분히 가까운 [math(x)]에 대해 [math(\frac{f(x)}{g(x)}<q)]이다.

[math(-\infty \leq A < +\infty)]인 경우 마찬가지로 [math(A>p)]인 [math(p)]를 잡으면 [math(a)]에 충분히 가까운 [math(x)]에 대해 [math(\frac{f(x)}{g(x)}>p)]가 성립한다.

위 두 결과를 종합하면 정리가 유도된다.

== 복소함수에서의 적용 ==
사실, 로피탈의 정리는 복소함수에서 성립하지 않는다.

== 영상 ==
[youtube(kFVuzrUZEyI)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]