르베그 지배수렴정리 (원본) (1)

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Lebesgue dominated convergence theorem

적분의 수렴과 관계된 정리이다.

== 진술 ==
[math(X)]가 [[가측공간]]이고 [math(\mu)]가 [math(X)]의 측도이고 [math(X)]에서 [math(\Bbb{R})]로 가는 적분가능한 함수열 [math(f_n)]이 수렴하면서 [math(g\in L^1(\mu))]이 있어서 [math(|f_n|\le g)]이면 [math(f\in L^1(\mu))]이고 

<math>\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_n\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu</math>
이다.

== 증명 ==
먼저 [math(2g-|f_n-f|\ge 0)]이므로 파투의 보조정리에 의해 

<math>\liminf_{n\to \infty}\int_{X}2g-|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu\ge \int_{X}2g-\liminf_{n\to \infty}|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu</math>

이고 그러므로 정리하면 

<math>\limsup_{n\to \infty}\int_{X}|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu\le 0</math>

이 되므로 증명이 끝난다.

== 영상 ==
[youtube(_q2zqUokmRU)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]