리만 가설 (원본) (1)

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Riemann hypothesis

1859년 베른하르트 리만이 처음 형식화한 것으로 수학사에서 정수론의 미해결 문제 중 유명한 문제이다. 이 가설은 리만 제타 함수의 영점에 대한 추측이다.

리만 가설은 소수의 규칙성과 연관되어 있는 것이 특징이다. 적절한 일반화와 함께, 이 문제는 순수수학에서 해결되지 않은 중요한 몇 가지 수학 문제 중 하나이다. 리만 가설은 힐베르트의 힐베르트의 문제들 중 골드바흐의 추측과 함께 힐베르트의 8번째 문제와, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나에 속한다. 이것은 공식화된 이후에도 미해결된 상태로 남아 있다.

== 진술 ==
먼저 [math(\Re{s}>1)]일 때

><math>\zeta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}</math>

라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.

* [math(\Bbb{C})]에서 [math(f)]가 [math(\Bbb{C})]의 한 개집합 [math(U_1)]에서 해석적이고 [math(g)]가 [math(\Bbb{C})]의 개집합 [math(U_2)]에서 해석적이라고 하자. 이제 [math(U_1\cap U_2)]가 공집합이 아니고 [math(U_1\cap U_2)]의 한 개집합 [math(U_3)]에서 [math(f=g)]라면 [math(U_1\cap U_2)]에서도 [math(f=g)]다.

이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다

* [math(f)]와 [math(g)]가 [math(\Bbb{C})]의 [[개집합]] [math(U)]에서 정의되고 해석적이라고 하자. 그리고 [math(U)] 위의 수열 [math(\{z_n\})]이 있어 [math(f(z_n)=g(z_n))]이라고 하자. 그러면 [math(U)]에서 [math(f=g)]다.

이 정리의 의미는 [math(f)]가 [math(U_1)]에서 정의되고 [math(g)]가 [math(U_1)]을 포함하는 [math(U_2)]에서 정의된다고 하고 [math(f=g)] on [math(U_1)]이라면 [math(g)]는 [math(f)]의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는 [math(U_1)]에서 정의되는 다른 [math(h)]를 정의해서 [math(U_1)]에서 [math(f=h)]나 [math(g=h)]가 되어도 마찬가지다. 

이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는 [math(\zeta(s))]가 [math(\Re{s}>1)]에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로 [math(\zeta(s))]는 [math(\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>1\})]이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는 

<math>\zeta(s)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(2n)^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\frac{1}{2^s}\zeta(s)</math>

임을 알 수 있고 이제 

<math>\eta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}</math>

라고 정의하자. 그러면 

[math(\eta(s))]는 [math(\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>0\})]

에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면 

[math((1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=\eta(s))]

가 되고 그러므로 우리는

<math>\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\eta(s)</math>

를 얻을 수 있다. 이는 [math(\Re{s}>1)]에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까 

<math>\zeta(s):=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\eta(s)</math>

라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은 [math(\Re{s}>0)]에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과 [math(\Re{s}>1)]에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로 [math(\Bbb{C})] 전체에서 정의되는 [math(\zeta(s))]와 [math(\Re{s}>1)]에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시 [math(\Re{s}>0)]에서도 같아야 한다.

이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.

* [math(\zeta(s)=0)]의 모든 자명하지 않은 근 [math(s)]는 [math(\Re{s}=\frac{1}{2})]를 만족한다.

여기에서 [math(s=-2n\ (n \in \Bbb{N}))]도 [math(\zeta(s)=0)]을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다.

== 중요성 ==
먼저 [math(a\ge \frac{1}{2})]일 때 [math(\mathrm{Re}{s}>a)]에서 [math(\zeta(s))]의 zero가 없게 되면 [math(x\ge 1)]일 때 

<math>\vartheta(x):=\sum_{p\le x}\ln{p}</math>

라고 정의하면 (물론 여기에서 [math(p)]는 소수라고 하자.)모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 

<math>\vartheta(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{a+\varepsilon})</math>

이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은 [math(x\ge 3)]일 때 모든 [math(c>0)]에 대해서 

<math>\vartheta(x)=x+O_{c}\left(x\exp{\left(-c\frac{(\ln{x})^{\frac{3}{5}}}{(\ln{\ln{x}})^{\frac{1}{5}}}\right)}\right)</math>

으로 아직도 [math(a=1)]에서 벗어나지 못하고 있다.

이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측 ([math(n\ge 7)]일 때 [math(n)]은 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.)를 증명할 수 있으며 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다. 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.

== 유사한 것 ==
리만 제타 함수뿐만 아니라 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)의 영(Zero)에 대해서도 리만 가설과 비슷한 것을 생각할 수 있고 이를 일반화된 리만 가설이라고 하며 역시 증명되지 않았다.

베유의 추측(Weil conjecture)이라는 [math(\Bbb{C})]가 아닌 유한체에서 정의된 제타함수의 영에 대한 추측이 있었는데 이는 1973년에 들리뉴(Deligne)에 의해서 증명된다. 이것은 보통 리만 가설과는 좀 다르게 대수기하학과 호몰로지 대수학에 대한 깊은 이해를 필요로 한다. 이것의 증명은 해석적 정수론에서 지수합(Exponential sum)의 유계(Bound)에 큰 역할을 했다.

== 영상 ==
[youtube(aUwYZSIgXoY)]

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