미적분학의 기본 정리 (원본) (1)

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Fundamental Theorem of Calculus

미적분학의 가장 기본이 되는 정리이다. 미적분학의 기본 정리에는 다음의 두 가지가 있다.

* 미적분학의 기본 정리 I - 정적분을 부정적분의 차로 나타낼 수 있음.
* 미적분학의 기본 정리 II - [[미분]]과 정적분의 관계

== 미적분학의 기본 정리 I ==
Fundamental Theorem of Calculus I

전혀 관계가 없던 정적분과 부정적분을 이어주는 정리로써, 이 정리로 인해 정적분 계산이 더 편해졌다.

=== 내용 ===
미적분학의 기본 정리 I은 다음을 말한다. 

>만약 <math>[a, b]</math>에서 <math>f</math>가 연속이고 <math>F</math>가 <math>f</math>의 부정적분이면 <math>\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)=\left[\int f(x)dx\right]_a^b </math>이다.

=== 증명 ===
구간 <math>[a, b]</math>를 <math>n</math>개의 구간으로 분할하여 보자.

<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b</math>

에서

<math>F(b)-F(a)</math> 

를 생각해 보면

<math>F(x_n)-F(x_0)</math>

<math>= [F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots+[F(x_1)-F(x_{0})]</math>

<math>= \displaystyle\sum_{k=1}^n [F(x_k)-F(x_{k-1})]</math> 

이고 <math>\exists F'=f</math>이므로 F는 (a, b)에서 미분 가능이고, [a, b]에서 연속이다.

각 부분 구간 <math>[x_{k-1}, x_k]</math>에서 평균값 정리를 이용하면

<math>\exists c_k \in [x_{k-1}, x_k], \ F(x_k)-F(x_{k-1}) = F'(c_k)(x_k-x_{k-1}) = f(c_k)\Delta x_k</math> 

이다. 따라서 <math>\displaystyle F(b)-F(a)= \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k </math>

이고, 양변에 n이 무한대로 가는 극한을 취해주면

<math>\lim_{n\to\infty} [F(b)-F(a)]=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k = \int_a^b f(x)dx</math> 

이다. ■

== 미적분학의 기본 정리 II ==
Fundamental Theorem of Calculus II

[[미분]]과 정적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 순간변화율을 계산하기 위해서, 정적분은 면적을 구하기 위해서 시작했지만, 이 정리로 연관이 있다는 것을 알 수 있다.

=== 내용 ===
미적분학의 기본 정리 II는 다음을 말한다. 

>만약 <math>[a, b]</math>에서 <math>f</math>가 연속이고 <math>F(x) = \int_a^x f(t)dt</math>라 하면 <math>[a, b]</math>에서 <math>F'(x) = f(x)</math>이다.

=== 증명 ===
도함수의 정의를 이용해 F의 도함수를 구해보자.

<math>\\ F'(x) \\ \\  = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ \\  = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h} f(t)dt - \int_a^{x} f(t)dt  \right]\\ \\ =\lim _{h\to 0} \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)dt </math>

구간 <math>[x, x+h]</math>에서 <math>f</math>가 연속이므로 적분의 평균값 정리를 이용하면

<math>\exists c\in[x, x+h], \ \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)dt =f(c)</math>

이다. 양변에 극한을 씌워주면

<math>F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)dt = \lim_{h\to 0} f(c)=f(x)</math>

이다. ■

=== 또 다른 증명 ===
이번엔 미적분학의 기본 정리 I 을 이용해보자.

<math>\underline F(x) = \int f(x)dx</math>

라 하면

<math>F(x) = \int_a^x f(t)dt = \underline F(x)-\underline F(a)</math>

이고, 

<math>\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}( \underline F(x)-\underline F(a)) = f(x)</math>

이다. ■

=== 따름정리 ===
다음의 두가지 따름정리가 성립한다.

* <math>\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) </math>
* <math>\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) -f(h(x))h'(x)</math>

== 영상 ==
[youtube(t5Zlp4IjcyM)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]