불 소 아이디얼 정리 (원본) (1)

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Boolean prime ideal theorem, BPI, BPIT

불 대수와 관련된 명제 중 하나이다.

== 진술 ==
불 소 아이디얼 정리는 다음 명제를 가리킨다.

>[math(B)]가 불 대수라 하고 [math(I)]를 그 위의 아이디얼이라 하고 [math(F)]를 [math(I)]와 서로소인 필터라 하자. 
>이 때 [math(I)]를 포함하면서 [math(F)]와 서로소인 [math(B)] 위의 소 아이디얼 [math(P)]가 존재한다.
>여기서 [math(P)]가 소 아이디얼이란 것은 [math(P)]가 아이디얼이면서 [math(a\cdot b\in P)]일 때 [math(a\in P)] 혹은 [math(b\in P)]란 것이다.

== 증명 ==
[math(\mathcal{I})]를 [math(I)]를 포함하며 [math(F)]와 서로소인 아이디얼들의 집합이라 하자. 이 때 [math(\mathcal{C}\subset \mathcal{I})]가 사슬이라면, [math(\bigcup\mathcal{C})] 또한 [math(\mathcal{I})]의 원소가 됨을 보일 수 있다. 따라서 초른의 보조정리에 의해, [math(\mathcal{I})]는 극대원을 갖는다. 이를 [math(M)]이라 하자.

이제 [math(ab\in M)]이라 하자. 만약 [math(a)]와 [math(b)] 둘 다 [math(M)]의 원소가 아니면, [math(\{a\}\cup M)]은 주어진 불 대수 자기 자신이 아닌 아이디얼을 생성한다. 만약 그렇지 않다면, 어느 [math(m\in M)]이 있어 [math(a+m=1)]이고 따라서 [math(ab+mb=b)], 그리고 [math(b-mb=ab-mb\le ab)]이므로 [math(b-mb\in M)]이다. 그런데 [math(mb\le m)]이여서 [math(mb\in M)]이므로, [math(b=mb+(b-mb)\in M)]이다. 이는 모순이다.

불 소 아이디얼의 증명은 선택공리에 의존한다. 또한, 선택공리가 없으면 불 소 아이디얼 정리를 증명할 수 없다. 하지만 BPI만으로는 ZF 위에서 선택공리를 증명하기에 충분치 않다.

== 동치인 명제들 ==
불 소 아이디얼은 다음 명제들과 동치이다.
* 임의의 불 대수는 소 아이디얼을 가진다.
* 임의의 불 대수 위의 필터는 초필터로 확대된다.
* 임의의 환의 아이디얼은 소 아이디얼로 확대된다.
* 하우스도르프 공간에 대한 티호노프 정리.

== 영상 ==
[youtube(dV4RYNuZakE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]