수론적 함수 (원본) (1)

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數論的函數 / Arithmetic function

자연수[* [[0]]을 포함하기도 한다.]에서 [[복소수]]로 가는 함수를 가리킨다.

== 연산 ==
두 수론적 함수 [math(f)], [math(g)]에 대하여 다음과 같은 연산들이 정의된다. 

=== 사칙연산 ===
* [math((f+g)(n)=f(n)+g(n))]
* [math((f-g)(n)=f(n)-g(n))]
* [math((f \times g)(n)=f(n) \times g(n))]
* [math((f/g)(n)=f(n)/g(n))]

=== 디리클레 곱 ===
* [math((f*g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d)g(\frac{n}{d}))]

== 성질 ==
=== 곱셈적 함수 ===
곱셈적, 또는 적법적 함수는 다음을 만족하는 수론적 함수 [math(f)]를 말한다.
* [math(f \neq 0,\ f(mn)=f(m)f(n)\ \text{if}\ (m,n)=1)]

== 예시 ==
* 항등 함수 [math(N(n)=n)]
* 항등원 함수 [math(I(n)=\left[\frac{1}{n}\right]=\begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ 0 & \text{if}\ n>1 \end{cases})]
* 단위 함수 [math(u(n)=1\ \forall n)]
* [[뫼비우스 함수]] [math(\mu (n) = \begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ (-1)^k & \text{if}\ 1<n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i},\ \forall i\ e_i=1 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases})]
* 오일러 파이 함수 [math(\phi(n)=\sum_{k<n,\ (n,k)=1}1)]
* [[망골트 함수]] [math(\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{if}\ \exists p,\ m \geq 1 \text{ s.t. } n=p^m\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases})]
* 주어진 자연수 [math(n)]의 약수의 개수 [math(\tau(n)=\sum_{d \mid n}1)]
* 주어진 자연수 [math(n)]의 약수의 합 [math(\sigma(n)=\sum_{d \mid n}d)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]