오일러 공식 (원본) (1)

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수학에서, 오일러의 공식(Euler's formula)은 다음 공식을 가리킨다.
><math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>
이는 간단히 [math(\theta)]에 대한 [math(\mathrm{cis}(\theta))]로 나타내기도 한다. 오일러의 공식은 [[거듭제곱|지수함수]]와 [[삼각함수]]를 연결하는 중요한 공식이며, 특히 위 공식에서 [math(\theta=\pi)]를 대입하면 [[오일러 등식]] <math>e^{i\pi}=-1</math>을 얻는다.

== 식의 유도 ==
<math>e^x, \sin x, \cos x</math>를 매클로린 급수로 전개하면
* <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot</math>
* <math>\sin x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdot\cdot\cdot</math>
* <math>\cos x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdot\cdot\cdot</math>
이므로
* <math>-i \sin ix = x + \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdot\cdot\cdot</math>
* <math>\cos ix=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdot\cdot\cdot</math>
* <math>\therefore\cos ix - i \sin ix = e^x </math>
이다. [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입하면
* <math>e^{ix}=\cos x + i\sin x</math>
* <math>\therefore e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta</math>

== 영상 ==
[youtube(xdsGmMI8Vjs)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]