임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다 (원본) (1)

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316000158/http://mathwiki.net/%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98_%EC%A7%91%ED%95%A9%EC%97%90_%EA%B5%B0_%EA%B5%AC%EC%A1%B0%EB%A5%BC_%EC%A4%84_%EC%88%98_%EC%9E%88%EB%8B%A4|링크]])]
== 진술 ==
[math(X)]가 공집합이 아닌 집합일 때 [math(X)] 위의 이항연산 [math(∗⋅X×X→X)]가 존재해서 [math((X,∗))]는 [[군]]이 된다.

== 증명 ==
[math(X)]가 유한집합일 때는 자명하다. 이제 [math(X)]가 무한집합이라 하자. 우리들은 [math(X)]와 농도가 같은 군 [math(G)]를 찾으면 된다. (만약 그러한 군이 존재함이 보여진다면, [math(X)]에서 [math(G)]로 가는 전단사를 써서 [math(X)] 위의 적절한 연산을 정의해서 [math(X)]를 군으로 만들 수 있다.) 칸토르의 정리에 의해 [math(|A|\le 2^{|A|})]임을 알 수 있다. 이제 [math(A)]를 [math((\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^A)]의 부분집합으로 간주하자. 이 때 [math(A)]에 의해 생성되는 [math((\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^A)]의 부분군 [math(G)]를 찾을 수 있다. 이 때 [math(|G|=|A|)]이다.

위 증명은 선택공리를 요구한다. 정확히는, [math(|G|=|A|)]임을 증명하는 데 선택공리가 필요하다.

== 선택공리와의 관계 ==
임의의 집합을 군으로 만들 수 있다는 명제는 선택공리와 동치임이 알려져 있다.

=== 증명 ===
[math(X)]가 집합이라 하자. 이 때 [math(X)]의 하르톡스 수 [math(ℵ(X))]를 고려하자. 일반성을 잃지 않고 [math(X∩ℵ(X)=∅)]이라 하자. 임의의 집합을 군으로 만들 수 있음을 가정했으므로, [math(X∪ℵ(X))] 위의 이항연산 [math(∗)]가 존재해 [math(X∪ℵ(X))]이 군이 된다.

이제 임의의 [math(x∈X)]에 대해 어떤 [math(α∈ℵ(X))]가 존재해 [math(x∗a∈ℵ(X))]임을 보이자. 만약 어떤 [math(x∈X)]가 존재해 주어진 명제를 만족하지 않는다고 가정하면 [math(α↦x∗α)]는 [math(ℵ(X))]에서 [math(X)]로 가는 단사함수가 된다. (주어진 함수가 단사라는 것은 [math(∗)]가 군 연산이여서 역원을 갖는다는 데서 기인한다.) 그런데 이는 [math(ℵ(X))]가 하르톡스 수란 데서 모순이다.

이제 [math(β_x)]를 [math(xα∈ℵ(X))]인 [math(α)] 중 최소인 [math(α)]라 하자. 이 때[math( ϕ:X→(ℵ(X))^2, ϕ(x)=(β_x,x∗β_x))]라는 함수를 생각하자. 이 때 [math(β_x=β_y, β_x∗x=β_y∗y)]이면 [math(x=y)]이므로 [math(ϕ)]는 단사임을 알 수 있다. 그런데 [math((ℵ(X))^2)]는 정렬 가능하다. 따라서 [math(X)]는 정렬 가능한 집합의 부분집합과 농도가 같고, 이를 이용해서 [math(X)]의 정렬순서를 정의할 수 있다. 따라서 임의의 집합의 정렬 가능성이 보여졌다.

== 참고문헌 ==
* [[http://mathoverflow.net/users/2689/ashutosh|Ashutosh]], [[https://mathoverflow.net/questions/12973/does-every-non-empty-set-admit-a-group-structure-in-zf/12988#12988|Does every non-empty set admit a group structure (in ZF)?, version: 2010-02-01]]