정규부분군 (원본) (1)

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315161555/http://mathwiki.net/%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%80%EB%B6%84%EA%B5%B0|링크]])]
정규부분군(Normal subgroup)은 임의의 원소에 대한 좌잉여류와 우잉여류가 같은 부분군이다.

== 정의 ==
군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대하여 임의의 [math(G)]의 원소 [math(x)]에 대해 [math(xHx^{−1}=H)]가 성립할 떄, [math(H)]를 [math(G)]의 정규부분군이라고 한다. 기호로는 [math(H⊲G)]로 표기한다.

이는 다음 각각과 동치이다.

 1. [math(∀x∈G xH=Hx)]
 2. [math(∀x∈G xHx^{−1}⊂H)]
 3. [math(G)] 상에 [math(H)]를 핵으로 갖는 군 준동형사상이 존재한다.
 4. 임의의 내부자기동형사상에 의해 불변이다.

=== 증명 ===
위에서 언급한 네 정의가 동치임을 보이자. [math(∀x∈G xHx^{−1}=H)]를 0번 조건이라고 하겠다.

==== 0⇔1 ====
[math(xHx^{−1}=H⇔xH=Hx)]. 자명하다.

==== 0⇔2 ====
[math(0⇒2)]는 자명하다.

[math(∀x∈G xHx^{−1}⊂H⇒∀x∈G H⊂x^{−1}Hx⇒∀x∈G H⊂xHx^{−1})]이므로 [math(2⇒0)]이다. 따라서 둘은 동치이다.

==== 0⇔3 ====
[math(H)]가 군 준동형사상 [math(f:G→G^′)]의 핵이라면 [math(∀h∈H, x∈G f(xhx^{−1})=f(x)⋅e_{G^′}⋅f(x)^{−1}=e_{G^′})]에서 [math(xhx^{−1}∈H, 즉 xHx^{−1}⊂H)]이다. 이는 2번 조건이므로 0번 조건을 만족시킨다. 따라서 [math(3⇒0)]이다.

[math(∀x∈G xH=Hx)]이면 [math(H)]의 잉여류 [math(aH,bH)]에 대하여 [math((aH)(bH)=aHbH=abHH=abH)]이므로 [math(G/H)] 위에서의 연산을 정의할 수 있고, 이는 [[몫군]]이 된다. 이 때 [math(f:x↦xH)]인 군 준동형사상 [math(f:G→G/H)]의 핵은 [math(H)]이다. 따라서 [math(2⇒3)]이므로 [math(0⇒3)]이다. 따라서 0번 조건과 3번 조건은 동치이다.

==== 0⇔4 ====
내부자기동형사상의 정의에 의해 자명하다.

== 성질 ==
* [[아벨 군]]의 모든 부분군은 정규부분군이다.
* [[교환법칙]]이 성립하므로 [math(∀x∈G, H⊂G xHx^{−1}=xx^{−1}H=H)]이다. 따라서 [math(H)]는 [math(G)]의 정규부분군이다.