정수 (원본) (1) - 시드위키

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315194138/http://mathwiki.net/%EC%A0%95%EC%88%98|링크]])]
정수(整數, Integer)는 자연수와 그의 덧셈에 대한 역원, 그리고 0으로 이루어진 집합의 원소이다. 정수 전체의 집합은 Z 혹은 [math(\mathbb{Z})]로 쓴다.

== 대수적 구조 ==
=== 덧셈 ===
정수의 집합은 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다.

* 닫힘: [math(\mathbb{Z})]는 덧셈에 대하여 닫혀있다.
* 결합법칙: [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소 [math(x,y ,z)] 에 대해 [math((x+y)+z=x+(y+z))]이다.
* 항등원: 0은 덧셈에 대한 항등원이다.
* 역원: [math(a \in \mathbb{Z})]에서 [math(-a)]는 [math(a)]의 역원이다.
* 교환법칙: [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소 [math(x,y)] 에 대해 [math(x+y=y+x)]이다.

=== 곱셈 ===
정수의 집합은 곱셈에 대하여 가환모노이드를 이룬다.

* 닫힘: [math(\mathbb{Z})]는 덧셈에 대하여 닫혀있다.
* 결합법칙: [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소 [math(\mathbb{Z})]에 대해 [math((x\times y)\times z=x\times (y\times z))]이다.
* 항등원: 1은 곱셈에 대한 항등원이다.
* 교환법칙: [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소 [math(x,y)] 에 대해 [math(x\times y=y\times x)]이다.

=== 덧셈과 곱셈 ===
분배법칙: [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소 [math(x, y, z)] 에 대해 [math((x+y)\times z = x\times z + y\times z)], [math(z\times (x+y) = z\times x + z\times y)]가 성립한다.

=== 결론 ===
정수 전체의 집합 [math(\mathbb{Z})]는 가환환을 이룬다. 또한 [math(\mathbb{Z})]의 임의의 원소가 0이 아니라면 그 원소는 단위가 된다. 그러나 [[체]]는 아니다.