정적분 (원본) (1) - 시드위키

[[분류:가져온 문서/오메가]]
定積分 / Definite Integral

대략 곡선 <math>y=f(x)</math> 아래의 넓이를 구하는 과정을 말한다. 많은 초등 미적분학 교재에서는 실수선 위의 리만 적분을 가리켜서 정적분이라 부른다.

== 역사 ==
고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 [[도형]]의 면적 등을 구할 때에 정적분과 비슷한 방법을 사용하였다고 한다. 아르키메데스는 [[원]] 등의 평면도형이나 구 등의 입체도형을 구분구적법을 이용하여 구하였다고 한다.

== 개요 ==
<math>y=f(x)</math>의 [[그래프]]와 직교좌표축 <math>x</math>축과 math>y</math>축을 생각해보자.

이 [[곡선]]과 <math>x</math>축, <math>x=a</math>, <math>x=b</math>로 둘러싸인 면적의 넓이를 구하기 위해 <math> (a, b) </math>를 <math>n</math>개로 나누어 분점을 각각

><math>a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b</math>

이라 하자. 이때 균등분할과 불균등분할이 있다.

=== 균등분할 ===
비교적 쉽다. 하지만 일반적이지 않다.

이때의 <math>x_i</math>는 <math>a+i\Delta x</math>이고, <math>\Delta x = \displaystyle \frac{b-a}{n}</math>이다. (단, <math>0\leq i\leq n</math>)

==== 우측분점 ====
우측분점을 기준으로 분할하여 면적 S를 여러개의 직사각형으로 나누면 왼쪽의 그림과 같은 모양이 된다.

왼쪽에서의 <math>i</math>번째 직사각형인 <math>\bar {S'_i}</math>의 넓이를 구하면

<math>\bar {S'_i} = \Delta x f(x_i) </math>

가 되고 이 방법을 이용하여 면적의 합을 구하면

><math>\bar S'=\sum_{i=1}^n  \Delta x f(x_i)</math>

가 된다. 이때 분점의 수, 즉 n의 값을 발산시켜 버리면 직사각형들이 모여 매끄러운 곡선의 모양이 될 것이다.
<math>\bar S'=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n  \Delta x f(x_i)</math>

==== 좌측분점 ====
이번엔 좌측분점을 기준으로 하여 면적 S를 나누어 보자.

왼쪽에서의 <math>i</math>번째 직사각형인 <math>\underline{S'_i}</math>의 넓이를 구하면

<math>\underline{S'_i} = \Delta x f(x_{i-1}) </math>

가 되어 면적 <math>\underline{S'} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\Delta x f(x_{i-1})</math>가 될 것이다.

하지만 위의 두 경우는 함수에 따라 대소가 달라지기 때문에 쓰기가 모호하다. 이 방법은 모든 경우의 합이 같음을 보인 후에 문제 풀이로서 많이 쓰인다.

==== 최대(상합) ====
<math>M_i</math>를 <math>[x_{i-1}, x_i]</math> 중 가장 큰 극댓점으로 놓자. 이 점을 기준으로 한 면적 S의 상합은

><math>\bar S = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n  \Delta x f(M_i)</math>

====최소(하합)====
최소 역시 비슷한 방법이다. <math>m_i</math>를 <math>[x_{i-1}, x_{i}]</math> 중 가장 작은 극소로 놓으면 하합은
><math>\underline S = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n  \Delta x f(m_i)</math>

==== 중점 ====
><math>S' = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\Delta x f(c_i)</math>   (단, <math> c_i = \displaystyle \frac{x_i + x_{i-1}}{2}</math>)

상합에서 하합을 뺀 <math>\bar S-\underline S </math>를 생각해보자. 양수 <math>\epsilon</math>을 <math>\max\{M_i-m_i\}</math>로 잡으면

><math>\displaystyle\bar S-\underline S \leq \epsilon(\sum_{k=1}^n \Delta x_k)  = \epsilon(b-a) </math>
이제 <math>n\to\infty, \ \Delta x_i\to 0</math>이 되도록 <math>x_i</math>를 잡으면 구간 <math>[x_{i-1}, x_i]</math>에서 <math> M_i - m_i \to 0</math>, 즉 <math>\epsilon\to 0</math>이다.

><math>\therefore \displaystyle\lim_{n\to\infty}(\bar {S} - \underline S ) = 0</math>

면적 S에 대해 <math>\displaystyle\underline S \leq S \leq \bar S</math>이고 <math>0 \leq S-\underline S \leq \bar S-\underline S</math>, 또한 <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\bar {S} - \underline S ) = 0</math>이므로 부등식 사이 식들을 극한을 씌우면

><math>\displaystyle 0 \leq \lim_{n\to\infty}(S-\underline S) \leq \lim_{n\to\infty}(\bar S-\underline S)=0</math>

[[샌드위치 정리]]에 의해 <math>\displaystyle S = \lim_{n\to\infty}\underline S = \lim_{n\to\infty}\bar S</math>

또한 <math>\underline S \leq S' \leq \bar S</math>이므로 [[샌드위치 정리]]에 의해 <math>\displaystyle S = {n\to\infty}S'</math>이다.

이제 좌·우측분점을 기준으로 했을 때의 결과와 같이 보면, 

><math>\displaystyle\underline S \leq \underline S' \leq S' \leq \bar S' \leq \bar S</math>이므로 
><math>\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}\underline S' = \lim_{n\to\infty}\bar S'</math>이다.

결론적으로, 좌·우측 분점이나 최대·최솟점, 중점을 기준으로 했을 때의 결과가 면적 S의 값으로 모두 같다. 많이 이용하는 방법은 우측 분점의 경우나 <math>n</math>을 무한대로 보내지 못할 때 중점을 기준으로 하는 경우가 많다.

== 오해 ==
많은 사람들이 부정적분을 이용해서 정적분이 정의된다고 생각하지만, 이는 잘못이다. 정적분과 부정적분의 연관성은 정의에 의해서 주어지는 것이 아니라 미적분학의 기본정리에 의해서 보장되는 것이다.

== 영상 ==
[youtube(tK8sEd3iM50)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]