칸토어-벤딕슨 정리 (원본) (1)

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Cantor-Bendixson theorem

기술집합론에서, 폴란드 공간 위의 폐집합이 완전집합과 기껏가산 집합으로 분리될 수 있다는 내용의 명제이다.

== 진술 ==
[math(X)]가 폴란드 공간이라 했을 때 그 부분집합 [math(P)]가 완전집합이란 것은 [math(P)]의 집적점들의 집합이 [math(P)] 자신과 일치하는 것을 말한다. 만약 [math(F)]가 [math(X)] 위의 폐집합이면, 서로소인 완전집합 [math(P)]와 기껏가산집합 [math(C)]가 있어 [math(F=P\cup C)]이다.

== 귀결 ==
특히, [math(F)]가 [math(X)] 위의 비가산 폐집합이면 [math(F)]는 무조건 완전 부분집합을 갖는다. 그런데 폴란드 공간 위의 완전집합의 농도는 [[연속체 농도]]와 같다.[* 보다 정확히는, [math(X)] 위의 임의의 완전집합은 칸토어 집합과 동형인 부분집합을 포함한다. 따라서 [math(X)] 위의 폐집합은 기껏가산이거나 연속체 농도를 가진다.

== 증명 ==
집합 [math(A)]와 서수 [math(\alpha)]가 주어졌을 때, 그 [math(\alpha)]-도집합 [math(A^{(\alpha)})]를 다음과 같이 초한재귀적으로 정의하자:
* [math(A^{(0)}=A)]
* [math(A^{(\alpha+1)}=(A^{(\alpha)})')]
* [math(\lambda)]가 극한서수이면 [math(A^{(\lambda)}=\bigcap_{\alpha<\lambda} A^{(\alpha)})]
[math(F)]가 폐집합이면, [math(F=F^{(0)}\supset F^{(1)}\supset F^{(2)}\supset\cdots)]이다. 만약 [math(F^{(\theta)}=F^{(\theta+1)})]인 [math(\theta<\omega_1)]가 존재하지 않는다면, [math(\langle X-F^{(\alpha)}\rangle_{\alpha<\omega_1})]는 강증가하는 길이 [math(\omega_1)]의 개집합열이 된다. 하지만 폴란드 공간 위에서 그러한 개집합열은 존재할 수 없다. 따라서 [math(F^{(\theta)}=F^{(\theta+1)})]인 [math(\theta<\omega_1)]가 존재한다.

이제 [math(F-F^{(\theta)})]가 가산집합임을 보이자. 사실, 각 [math(F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)})]은 고립점들로만 이루어져 있으므로 기껏가산이고, [[가산 선택공리]]를 가정하면 기껏가산집합의 가산 합은 가산집합이므로 증명이 끝나지만, 여기선 어떠한 형태의 선택공리가 없어도 [math(F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)})]가 가산임을 보일 것이다.

[math(\{U_i:i<\omega\})]를 [math(X)]의 가산기저라 하자. 이 때 각 [math(x\in F-F^{(\theta)})]에 대해, [math(\alpha(x))]를 [math(x\in F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)})]인 유일한 [math(\alpha)]로 정의하고 
[math(n(x))]를 [math(F^{(\alpha(x))}\cap U_n=\{x\})]인 최소의 [math(n)]으로 정의하자. 이 때 [math(x\neq y)]이고 [math(\alpha(x)=\alpha(y))]일 때 [math(x\notin U_{n(y)}=\varnothing)]이다. 따라서 [math(n(x)\neq n(y))]이다. 그러므로 함수 [math(f:F-F^{(\theta)}\to \theta\times\omega)]를
>[math(f(x)=(\alpha(x),n(x)))]
로 정의하면 이는 단사이다. 따라서 [math(F-F^{(\theta)})]는 기껏가산이다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]