코시 열 (원본) (1)

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Cauchy sequence

수열이 진행될 수록 임의의 원소들의 거리가 가까워지는 점열이다.

== 정의 ==
=== 실수와 복소수에서 ===
실수열 (또는 복소수열) [math(\{x_n\}_{n=1}^{\infty})]에 대해, 임의의 양수 [math(\epsilon)]에 대해 양의 정수 [math(N)]이 존재하여 임의의 정수 [math(m,n\ge N)]에 대해 [math(|x_n-x_m|<\epsilon)]이면 [math(\{x_n\}_{n=1}^{\infty})]을 코시 수열이라 한다.

=== 거리공간에서 ===
[math((X,d))]를 [[거리공간]]이라 하자. 점열 [math(\{x_n\}_{n=1}^{\infty})]에 대해, 임의의 양수 [math(\epsilon)]에 대해 양의 정수 [math(N)]이 존재하여 임의의 정수 [math(m,n\ge N)]에 대해 [math(d(x_n,x_m)<\epsilon)]이면 [math(\{x_n\}_{n=1}^{\infty})]을 코시 열이라 한다.

== 완비성 ==
거리공간 [math((X,d))]에서 임의의 [math(X)]의 코시 열이 [math(X)] 위의 점으로 수렴하면 [math((X,d))]를 완비거리공간이라고 한다. 완비거리공간에서 임의의 코시 열은 수렴한다.

=== 예시 ===
* [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]는 완비거리공간이다.
* [math(\mathbb{Q})]는 완비거리공간이 아니다.

== 참고문헌 ==
* Croom, Fred H (1989). ''Principles of Topology''. Singapore: Thomson. ISBN 9812432884

== 영상 ==
[youtube(m0g4qpdCkfE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]