코시-리만 방정식 (원본) (1)

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Cauchy-Riemann equations

[[복소수]]체에서 정의된 미분가능한 함수가 항상 만족하는 연립편미분방정식이다.

== 진술 ==
[math(z\in\mathbb{C})]와 [math(x,y\in\mathbb{R})]에 대해, [math(z=x+iy)]로 정의하자. 복소수체에 포함된 열린집합 [math(G)]에서 정의된 미분가능한 함수 [math(f(z))]와 [math(u(x,y),v(x,y)\in\mathbb{R})]에 대해 [math(f(z)=u(x,y)+iv(x,y))]로 정의하면 [math(u,v)]는 다음 식
><math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>
을 만족한다. 이 식을 코시-리만 방정식이라 한다. 따라서 [math(z_0)]에서 미분가능한 함수는 [math(z_0)]에서 코시-리만 방정식을 만족한다.

=== 유도 과정 ===
함수 [math(f)]가 점 [math(z_0)]에서 미분가능하다고 하자. 그러면
><math>f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to z_0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}</math>
이다. [math(x_0,y_0,\Delta x, \Delta y\in\mathbb{R})]에 대해 [math(z_0=x_0+iy_0)], [math(\Delta z=\Delta x+i\Delta y)]으로 정의하자. [math(\Delta y=0)]으로 둔다면,
><math>f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)</math>
을 얻으며, [math(\Delta x=0)]으로 두면
><math>f'(z_0)=-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)+\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)</math>
을 얻는다. 실수부와 허수부를 비교하여 코시-리만 방정식을 얻는다.

== 참고 문헌 ==
* Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), ''Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics'' (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746

== 영상 ==
[youtube(n6TRYh3lVp0)]

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