픽의 정리 (원본) (1)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Pick's Theorem

격자점 위에서 다각형의 넓이를 구하는 공식을 말한다. 격자점 위에 그려진 다각형에 대해 내부의 격자점의 개수를 [math(n_{in})], 다각형의 변 위에 있는 격자점의 개수(꼭짓점 포함)를 [math(n_{bd})]라고 하면 그 넓이는 [math(n_{in}+\frac{1}{2}n_{bd}-1)]와 같다.

== 증명 ==
내부와 변 위에 격자점이 없는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 두 변을 [math(\langle a_1, a_2 \rangle, \langle b_1, b_2 \rangle )]라 하면 이를 이웃한 두 변으로 가지는 평행사변형을 생각할 수 있다. 평행사변형으로 평면을 겹치지 않게 모두 덮을 수 있으므로 [math(\{\langle a_1, a_2 \rangle, \langle b_1, b_2 \rangle\})]는 [math(\Bbb{Z}^2)]의 기저이다. 따라서 [math(\mathbf{X}=\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix})]라 하면 [math(\mathbf{X}^{-1})]의 모든 원소는 정수이므로 [math(|\mathbf{X}|=1)]이다. 그러므로 위에서 언급한 삼각형의 넓이는 [math(\frac{1}{2}|\mathbf{X}|=\frac{1}{2})]이다.

격자점 위에 그려진 다각형을 변 위의 격자점들과 내부의 격자점들이 모두 적어도 한번씩 꼭짓점으로 쓰이도록 삼각형으로 분할하자(분할의 존재성은 귀납적으로 쉽게 증명된다). 이렇게 생성된 그래프[* 격자점을 꼭짓점, 격자점을 이은 선분을 변으로 하는]의 면의 개수를 [math(f)]라 하면, 다각형의 넓이 [math(A=\frac{1}{2}(f-1))]이다(각 삼각형의 넓이가 [math(\frac{1}{2})]임은 위에서 보였다).

그래프와 외부영역의 경계에 있는 변의 개수를 [math(e_{bd})], 내부에 있는 변의 개수를 [math(e_{in})]이라 하자. [math(e_{bd})]개의 변은 한 개의 삼각형, [math(e_{in})]개의 변은 두 개의 삼각형에 사용되므로 [math(3(f-1)=e_{bd}+2e_{in})]이다. 즉 오일러의 공식을 적용하면 [math(f-1=e_{bd}+2e_{in}-2f+2=2(e-f)-n_{bd}+2=2(n-2)-n_{bd}+2=2n_{in}+n_{bd}-2)]이므로 원하는 결과를 얻는다.

== 교육 ==
이 정리는 영재성 교육 자료와 관련되어 많이 등장하지만 정작 그 증명은 다루지 않을 때가 많다. 아마 정리와 같이 고무줄을 못에 걸어 이런저런 다각형을 만드는 활동을 하지 않을까 생각한다.

== 영상 ==
[youtube(GTeZd_IdcoY)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]