대칭군 (원본) (2) - 시드위키

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대칭군(Symmetric group)은 어떤 집합의 치환으로 구성한 군이다.

== 정의 ==
집합 [math(x)]의 대칭군은 [math(x)]에서 [math(x)]로 가는 전단사 사상의 집합에 군 구조를 준 것이다. 여기서 연산은 사상의 합성이다. 집합 [math(x)]의 대칭군은 주로 [math(s_x)]로 쓴다. [math(X=\{1,2,3,...,n\})]의 대칭군은 [math(S_n)]으로도 쓸 수 있다.

== 치환 ==
치환(Permutation)은 유한집합의 원소의 재배열을 말하며, 유한집합에서의 전단사 사상과 일대일 대응될 수 있다. 따라서 유한집합에 의해 만들어진 대칭군을 그 치환들의 집합으로 보기도 한다.

일반적으로 [math( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix})]라고 쓰면 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미한다. [math((1 2 5 4))]와 같이 쓰면 이 치환은 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미하며, 이 두 치환은 같다.

=== 치환의 종류 ===
* 순환치환(cycle): 한 원소로부터 시작하여 그 치환을 여러 번 적용할 동안 치환되는 원소를 모두 거칠 수 있는 치환을 순환치환이라고 한다.
* 호환(transposition): 호환은 두 원소만을 바꾸는 치환을 의미한다.
* 짝치환(even permutation): 짝수개의 호환의 합성으로 표현할 수 있는 치환을 의미한다.
* 홀치환(odd permutation): 홀수개의 호환의 합성으로 표현할 수 있는 치환을 의미한다.

여기서 짝치환은 홀치환이 아니다.

== 성질 ==
* [math(n>2)]일 때, [math(S_n)]은 일반적으로 [[아벨 군]]이 아니다.
* 짝치환만을 모은 교대군 [math(A_n)]는 [math(S_n)]의 정규부분군이다.
* [math(S_n)]의 원소의 개수는 [math(n!)]이다.

== 대칭군과 동형인 군 ==
* 자명군은 [math(S_1)]와 동형이다.
* [math(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})]는 [math(S_2)]와 동형이다.
* [math(D_3)]는 [math(S_3)]와 동형이다.

== 보기 ==
* [[교대군]]

== 영상 ==
[youtube(V7sHA2nx1J4)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315225134/http://mathwiki.net/%EB%8C%80%EC%B9%AD%EA%B5%B0|링크]])]