무한공리 (원본) (2)

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Axiom of infinity

무한의 존재성과 관련된 집합론 공리 중 하나이다.

== 형식적 정의 ==
무한공리를 형식적으로 적으면 다음과 같다.

>[math(\exists \omega : (\emptyset \in \omega) \land (\forall x\in\omega, S(x)\in \omega))]

이 때 [math(S(x)=x\cup\{x\})]이다.

== 무한공리와 동치인 명제 ==
무한공리는 ZF에서 무한공리를 제외한 다른 공리를 가정했을 때 다음 명제들과 동치이다:
* 무한서수 [math(\omega)]가 집합이다.
* 무한 집합이 존재한다.
* 귀납적 집합이 존재한다.

== 독립성 ==
ZFC가 일관되어 있음을 가정하면, ZFC에서 무한공리를 뺀 공리 체계도 일관되어 있음을 증명할 수 있다. 즉, 무한공리는 다른 집합론 공리들과 독립적이다.

== 참고 문헌 ==
* Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

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